Đến nội dung

Hình ảnh

$$ \frac{a^3+b^3+c^3}{3abc}+ \frac{a(b+c)}{b^2+c^2}+\frac{b(a+c)}{a^2+c^2}+\frac{c(a+b)}{a^2+b^2} \geq 4$$

bat dang thuc doi xung ba bien

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 4 trả lời

#1
Cantho2015

Cantho2015

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 48 Bài viết

1. Cho $a,b,c$ dương, chứng minh:

$$ \frac{a^3+b^3+c^3}{3abc}+ \frac{a(b+c)}{b^2+c^2}+\frac{b(a+c)}{a^2+c^2}+\frac{c(a+b)}{a^2+b^2} \geq 4$$

2. Cho $a,b,c$ dương, chứng minh:

$$ \frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{a+c}+\frac{c^2}{b+a} \geq \frac{3}{2}\frac{a^3+b^3+c^3}{a^2+b^2+c^2}$$



#2
la oi dung bay

la oi dung bay

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 45 Bài viết

 

2. Cho $a,b,c$ dương, chứng minh:

$$ \frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{a+c}+\frac{c^2}{b+a} \geq \frac{3}{2}\frac{a^3+b^3+c^3}{a^2+b^2+c^2}$$

BĐT tương đương với:

$\sum \frac{a^{2}}{b+c}-\frac{a+b+c}{2}\geq \frac{3}{2}.\frac{a^{3}+b^{3}+c^{3}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}-\frac{a+b+c}{2}$

$\Leftrightarrow \frac{(a+b+c)(\sum (a+b)(a-b)^{2}))}{2(a+b)(b+c)(c+a)}\geq \frac{\sum (a+b)(a-b)^{2})}{2(a^{2}+b^{2}+c^{2})}$

$\Leftrightarrow (\sum (a+b)(a-b)^{2})(\frac{a+b+c}{(a+b)(b+c)(c+a)}-\frac{1}{a^{2}+b^{2}+c^{2}})\geq 0$

$\Leftrightarrow (\sum (a+b)(a-b)^{2})\frac{(\sum a)(\sum a^{2})-(a+b)(b+c)(c+a)}{(\sum a^{2})(a+b)(b+c)(c+a)}\geq 0$ ($$$)

Ta có:$(a+b)(b+c)(c+a)=(\sum a)(\sum ab)-abc$

Do đó $(\sum a)(\sum a^{2})-(a+b)(b+c)(c+a)=(\sum a)(\sum a^{2}-\sum ab)+abc=\frac{1}{2}(\sum a)(\sum (a-b)^{2})+abc> 0$

Vì vậy ($$$) đúng nên ta đã hoàn thành việc chứng minh.

Dấu bằng xảy ra tại a=b=c



#3
Cantho2015

Cantho2015

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 48 Bài viết

BĐT tương đương với:

$\sum \frac{a^{2}}{b+c}-\frac{a+b+c}{2}\geq \frac{3}{2}.\frac{a^{3}+b^{3}+c^{3}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}-\frac{a+b+c}{2}$

$\Leftrightarrow \frac{(a+b+c)(\sum (a+b)(a-b)^{2}))}{2(a+b)(b+c)(c+a)}\geq \frac{\sum (a+b)(a-b)^{2})}{2(a^{2}+b^{2}+c^{2})}$

 

Khúc này bạn có thể biến đổi kĩ hơn được không? Mình không hiểu lắm.



#4
la oi dung bay

la oi dung bay

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 45 Bài viết

Khúc này bạn có thể biến đổi kĩ hơn được không? Mình không hiểu lắm.Cái này ba j 

Cái này bạn tự biến đổi tương đương là được mà :)

Ta có:

$\sum 2a^{2}(a+b)(a+c)-(\sum a)(a+b)(b+c)(c+a)=(a+b+c)(2\sum a^{3}-\sum ab(a+b))$

Lại có $a^{3}+b^{3}- ab(a+b)=(a+b)(a-b)^{2} \Rightarrow 2\sum a^{3}-\sum ab(a+b)=\sum (a+b)(a-b)^{2})$



#5
Cantho2015

Cantho2015

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 48 Bài viết

Cái này bạn tự biến đổi tương đương là được mà :)

Ta có:

$\sum 2a^{2}(a+b)(a+c)-(\sum a)(a+b)(b+c)(c+a)=(a+b+c)(2\sum a^{3}-\sum ab(a+b))$

Lại có $a^{3}+b^{3}- ab(a+b)=(a+b)(a-b)^{2} \Rightarrow 2\sum a^{3}-\sum ab(a+b)=\sum (a+b)(a-b)^{2})$

Cảm ơn bạn nhiều, mà đúng là nếu không có kiến thức về đa thức đối xứng với quỹ đạo của đa thức thì biến đổi hơi bị căng. 

Mà mình thắc mắc là làm sao bạn chọn được $\frac{a+b+c}{2}$ để trừ vào hai vế ra đẹp thế! Có phương pháp nào để chọn không?






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh