Chủ đề này có 1 trả lời

[Zz Isaac Newton Zz]

Mọi người giúp em bài này với...
Có một số học sinh xếp thành một vòng tròn. Cô giáo yêu cầu các bạn học sinh đứng cạnh nhau bắt tay nhau. Gọi b là số học sinh nam, g là số học sinh nữ, B là số cặp học sinh nam bắt tay nhau và G là số cặp học sinh nữ bắt tay nhau. Chứng minh rằng: b-g=B-G.

[Ego]

Bài này là một bổ đề đẹp, được dùng trong kì VMO 2014 (nếu mình không nhầm). Sau đó là nằm trong đề HSG lớp 9 của Titan Education năm 2014.
Lời giải của mình năm ấy thế này, bạn tham khảo thử.
Dĩ nhiên số học sinh là $1$ thì không có gì để nói. Ta sẽ xét số học sinh từ $2$ trở lên
i) Với số học sinh là hai, ta xét là TRAI - TRAI, GÁI - GÁI, GÁI - TRAI thì thấy khẳng định bài toán đúng.
ii) Bây giờ giả sử bài toán đúng với số học sinh $n$. Bây giờ ta thêm một em học sinh vô. Vai trò mấy em này như nhau, nên giả sử ta thêm bạn nữ (:3) vào
Khi đó $B' = B$ và $G' = G + 1$.
a) TH1. Ta nhét em ấy vào giữa GÁI - GÁI thì $b' = b$ và $g' = g + 1$. Khi đó $B' - G' = B - G - 1 = b - g - 1 = b' - g'$.
b) TH2. Ta nhét em ấy vào giữa TRAI - GÁI thì $b' = b$ và $g' = g + 1$. Tương tự trên ta cũng có đpcm.
c) TH3. Ta nhét em ấy vào giữa TRAI - TRAI thì $b' = b - 1$ và $g' = g$. Lúc đó $B' - G' = B - G - 1 = b - 1 - g = b' - g'$. Xong.