Cho $x\geq 1$, $y\geq 1$.
Chứng minh rằng: $x\sqrt{y-1}+y\sqrt{x-1}\leq xy$
Chứng minh rằng: $x\sqrt{y-1}+y\sqrt{x-1}\leq xy$
Bắt đầu bởi thinhtrantoan, 08-08-2016 - 11:46
#1
Đã gửi 08-08-2016 - 11:46
thinhtrantoan
-
- Thành viên
-
- 104 Bài viết
Trung sĩ
"Tình yêu thương lớn lên nhờ sự cho đi. Sự yêu thương mà chúng ta cho đi chính là sự yêu thương mà chúng ta có được"
#2
Đã gửi 08-08-2016 - 12:03
NTA1907
-
- Thành viên
-
- 1014 Bài viết
Thượng úy
Cho $x\geq 1$, $y\geq 1$.
Chứng minh rằng: $x\sqrt{y-1}+y\sqrt{x-1}\leq xy$
Áp dụng AM-GM ta có:
$y-1+1\geq 2\sqrt{y-1}\Leftrightarrow \frac{\sqrt{y-1}}{y}\leq \frac{1}{2}$
Tương tự ta cũng có: $\frac{\sqrt{x-1}}{x}\leq \frac{1}{2}$
Cộng 2 bất đẳng thức trên ta được:
$\frac{\sqrt{x-1}}{x}+\frac{\sqrt{y-1}}{y}\leq 1$
$\Leftrightarrow y\sqrt{x-1}+x\sqrt{y-1}\leq xy$
- Math Master và thinhtrantoan thích
Vũ trụ không có biên trong không gian, không có bắt đầu và kết thúc trong thời gian và chẳng có việc gì cho đấng sáng thế phải làm ở đây cả.
#3
Đã gửi 08-08-2016 - 12:05
conanthamtulungdanhkudo
-
- Thành viên
-
- 316 Bài viết
Sĩ quan
Cho $x\geq 1$, $y\geq 1$.
Chứng minh rằng: $x\sqrt{y-1}+y\sqrt{x-1}\leq xy$
Ta có $\dpi{150} \sqrt{(y-1)1}$$\dpi{150} \leq$$\dpi{150} \frac{y-1+1}{2}$(theo BĐT côsi)
nhân x vào suy ra $\dpi{150} \leqslant \frac{xy}{2}$
tương tự y.căn(x-1)$\dpi{150} \leq$$\dpi{150} \frac{xy}{2}$
cộng 2 vế lại suy ra đpcm
#4
Đã gửi 08-08-2016 - 23:08
quangtohe
-
- Thành viên
-
- 88 Bài viết
Hạ sĩ
Ta có BĐT cần cm tương đương vs:
$\frac{\sqrt{y-1}}{y}+\frac{\sqrt{x-1}}{x}\leq 1$
Áp dụng BĐT AM-GM, ta có:$\sqrt{y-1}\leq \frac{y}{2}$ ; $\sqrt{x-1}\leq \frac{x}{2}$
=>$\frac{\sqrt{y-1}}{y}+\frac{\sqrt{x-1}}{x}$\leq \frac{x}{2x}+\frac{y}{2y}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1$(đpcm)
Đẳng thức xảy ra <=>x=y=2
quangtohe1234567890
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
