Có một số chỗ khá lạ đối với mình trong cách mà Serge Lang sử dụng lý thuyết Galois trong sách Algebraic number theory của ông.
1. Một mở rộng K|F chuẩn tắc và không tách được nhưng tác giả vẫn đề cập đến nhóm Galois. Mình đoán là ông ấy đề cập tới nhóm Galois của phần tách được $K^{sep}$ trên F, mình nghĩ tới điều này vì có lẽ mỗi phần tử của Gal($K^{sep}$|F) chỉ có duy nhất một mở rộng thành một phần tử của Aut(K|F)? Điều này có chính xác không?
2. Mệnh đề 14: Cho A là đóng nguyên trong trường các thương K, B là bao đóng nguyên trong một mở rộng Galois hữu hạn L trên K với nhóm Galois G. Cho $\mathfrak{p}$ là một ideal cực đại của A, $\mathfrak{B}$ là một ideal cực đại của B nằm trên $\mathfrak{p}$. Thì $B/ \mathfrak{B}$ là chuẩn tắc trên $A/ \mathfrak{p}$ và ánh xạ $\sigma \to \overline{\sigma}$ cảm sinh một đồng cấu của $G_{\mathfrak{B}}$ lên nhóm Galois của $B/ \mathfrak{B}$ trên $A/ \mathfrak{p}$.
Sau khi chứng minh mệnh đề trên, tác giả chứng minh hệ quả sau
3. Hệ quả 1. Vẫn giả thiết như trên. Cho $\phi: A \to A/\mathfrak{p}$ là đồng cấu chính tắc và $\psi_{1},\psi_{2}$ là các mở rộng của $\phi$ lên B. Thì tồn tại một tự đẳng cấu của $L|K$ sao cho
$$\psi_1=\psi_2 o \sigma.$$
Chứng minh. Các nhân của $\psi_1,\psi_2$ là các ideal nguyên tố của B là liên hợp nên tồn tại phần tử $\tau$ của G sao cho $\psi_1, \psi_2o \tau$ có cùng nhân. Không giảm tổng quát, ta có thể giả sử $\psi_1,\psi_2$ có cùng nhân $\mathfrak{B}$. Do đó tồn tại một tự đẳng cấu $\omega$ của $\psi_1(B)$ lên $\psi_2(B)$ sao cho $\omega o \psi_1=\psi_2$. (Bắt đầu từ đây mình không hiểu) Tồn tại một phần tử $\sigma$ của $G_{\mathfrak{B}}$ sao cho $\omega o \psi_1=\psi_1 o \sigma$, theo mệnh đề 14.
Sau khi tìm kiếm trên mạng thì đây là điều tốt nhất mình tìm được http://math.stackexc...c-number-theory
Nhưng mình vẫn không hiểu. Có điều đáng trong post trên mà tổng quát như sau rằng nếu K,E là chuẩn tắc trên F và cùng nằm trong một bao đóng đại số của F và tồn tại một tự đẳng cấu từ K lên E mà giữ nguyên F thì K phải thực sự bằng E. Mình nghĩ điều này đúng và đó là lý do tại sao các $\psi_i$ lai là mở rộng của ánh xạ chính tắc, để đẳng cấu giữa các ảnh của $\psi_i$ giữ nguyên $A/\mathfrak{p}$.
Và mình giải thích thế này. Các ánh xạ $\psi_i$ cảm sinh $\overline{\psi_i}$ là các đẳng cấu từ $B/\mathfrak{B}$ lên $\psi_1(B)=\psi_2(B)$, chú ý rằng các $\psi_i$ là mở rộng của ánh xạ chính tắc nên $\overline{\psi_1}^{-1}\overline{\psi_2}$ là một phần tử của Aut($B/\mathfrak{B}$|A/\mathfrak{p}) nên theo mệnh đề 14, tồn tại $\sigma$ của $G_{\mathfrak{B}}$ sao cho $\overline{\psi_1}^{-1}\overline{\psi_2}=\overline{\sigma}$. Sau khi đưa trở về vành ban đầu, $\sigma$ ở trên sẽ thỏa mãn kết luận hệ quả.Tuy nhiên giải thích này của mình rõ ràng đã chệch khỏi cách giải thích của Serge Lang. Và hơn nữa liệu mình có hiểu đúng 1?
