Giả sử $p$ là số nguyên tổ lẻ. $S_{k}$ là tổng các tích gồm $k$ số phân biệt lấy từ tập {$1,2,....,p-1$}
Chứng minh $S_{k}$ đồng dư $0$ (mod $p$) với $2 \leq k \leq p-2$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi royal1534: 08-08-2016 - 18:41
Chứng minh $S_{k}$ đồng dư $0$ (mod $p$) với $2 \leq k \leq p-2$
Bắt đầu bởi royal1534, 08-08-2016 - 18:39
#2
Đã gửi 12-08-2016 - 06:57
Zaraki
-
- Phó Quản lý Toán Cao cấp
-
- 4273 Bài viết
PQT
Bài này hình như là xét đa thức $f(x)=(x-1)(x-2) \cdots (x-p+1)$. Nhận thấy rằng nếu $$f(x)=x^{p-1}+b_1x^{p-2}+ \cdots + b_{p-3}x^2+b_{p-2}x+(p-1)!,$$ thì $b_i= (-1)^{p-1-i}S_{p-1-i}$ theo công thức Vieta.
Mặt khác, nếu với mọi $p \nmid x$ thì $f(x) \equiv 0 \pmod{p}$ và $x^{p-1}+ (p-1)! \equiv 0 \pmod{p}$ nên $$b_2x^{p-2}+ \cdots + b_{p-1}x \equiv 0 \pmod{p} \; \forall p \nmid x.$$
Do đó ta buộc phải có $p \mid b_i$ for all $1 \le i \le p-2$. Ta suy ra $p \mid S_k$ với mọi $1 \le k \le p-2$.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Zaraki: 12-08-2016 - 06:59
- thinhrost1 và royal1534 thích
Discovery is a child’s privilege. I mean the small child, the child who is not afraid to be wrong, to look silly, to not be serious, and to act differently from everyone else. He is also not afraid that the things he is interested in are in bad taste or turn out to be different from his expectations, from what they should be, or rather he is not afraid of what they actually are. He ignores the silent and flawless consensus that is part of the air we breathe – the consensus of all the people who are, or are reputed to be, reasonable.
Grothendieck, Récoltes et Semailles (“Crops and Seeds”).
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh
