Chủ đề này có 3 trả lời

[Baoriven]

Giải phương trình:

$\sqrt{x^2+1}+\frac{x^2+1}{2x}=\frac{(x^2+1)^2}{2x(1-x^2)}$

[nganha2001]

$\sqrt{x^2+1}+\frac{x^2+1}{2x}=\frac{(x^2+1)^2}{2x(1-x^2)}$

đk:            $x\neq 0 , x\neq \pm 1$

pt $\Leftrightarrow \sqrt{x^{2}+1}=\frac{2x^{2}(x^{2}+1)}{2x(1-x^{2})}$

$\Leftrightarrow \sqrt{x^{2}+1}=\frac{x(x^{2}+1)}{1-x^{2}}$

$(1-x^{2})\sqrt{x^{2}+1}=x(x^{2}+1)$

$3x^{3}-x+(1-x^{2})(2x-\sqrt{x^{2}+1})=0$

$(3x^{2}-1)(x+\frac{1-x}{2x+\sqrt{1+x^{2}}})=0$

$\Leftrightarrow ....$

[Zeref]

đk:            $x\neq 0 , x\neq \pm 1$

pt $\Leftrightarrow \sqrt{x^{2}+1}=\frac{2x^{2}(x^{2}+1)}{2x(1-x^{2})}$

$\Leftrightarrow \sqrt{x^{2}+1}=\frac{x(x^{2}+1)}{1-x^{2}}$

$(1-x^{2})\sqrt{x^{2}+1}=x(x^{2}+1)$

Tới đây không cần liên hợp mà bình phương khử căn cũng được . Bởi bình phương khử căn sẽ rất đơn giản .

Như vậy

$[(1-x^2)\sqrt{x^2+1}] ^2 = x^2(x^2+1)^2$

Thu gọn đi ta được

$3x^4+2x^2-1=0$

Vậy sau khi thu gọn ta đã được một pt trùng phương !

Còn lại thì dễ rồi

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Zeref: 08-08-2016 - 23:37

[An Infinitesimal]

Giải phương trình:

$\sqrt{x^2+1}+\frac{x^2+1}{2x}=\frac{(x^2+1)^2}{2x(1-x^2)}$

 

Bổ sung thêm 0 hoặc 1 hoặc 2 lời giải (đang tiến hành 2 ý tưởng- có thể cả hai ý tưởng này sẽ thất bại).

Lượng giác hóa

 

Phương trình có quá nhiều yếu tố lượng giác như $x^2+1, \cos{(2u)}, \sin{(2u)}$ !

 

Đặt $x= \tan{t}, t\in \left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)\setminus \{-\frac{\pi}{4}, 0, \frac{\pi}{4}\}.$

Phương trình được viết lại \[\frac{1}{\cos{t}}+\frac{1}{\sin{(2t)}}= \frac{1}{\sin{(2t)} \cos{(2t}}.\]

\[\Leftrightarrow 2\sin{t}\cos{(2t)}+\cos{(2t)}= 1.\]

\[\Leftrightarrow 2\sin{t}\cos{(2t)}=2\sin^2{t}.\]

\[\Leftrightarrow \cos{(2t)}= \sin{t}.\]

Hình như chỉ có hai  $t=\pm\frac{\pi}{6}.$

"Do đó" phương trình chỉ có đúng hai nghiệm $x=\pm\frac{1}{\sqrt{3}}.$ 

 

Lời giải- phương pháp thế Euler: 

"Đặt" $\sqrt{x^2+1}=xt+1,$ ta có $x= -\frac{2 t}{t^2 - 1}, t\in (-1,1).$

Ta có phương trình $t^2 - 4t + 1=0.$

Dẫn đến $x= \pm \frac{1}{\sqrt{3}}.$