x^3+y^3+z^3>=3
cho x,y,z>0 và x^2+y^2+z^2=3.c/m
#1
Đã gửi 09-08-2016 - 21:08
#2
Đã gửi 09-08-2016 - 21:23
$x^3+x^3+1\geq 3x^2$
Tương tự $\Rightarrow 2(\sum x^3)\geq 3.3-3=3(đpcm)$
Dấu ''='' xr khi x=y=z=1
- Element hero Neos yêu thích
'' Ai cũng là thiên tài. Nhưng nếu bạn đánh giá một con cá qua khả năng trèo cây của nó, nó sẽ sống cả đời mà tin rằng mình thực sự thấp kém''.
Albert Einstein
#3
Đã gửi 09-08-2016 - 21:24
x^3+y^3+z^3>=3
Lời giải.
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có $x^{3}+x^{3}+1\geq 3x^{2}$.
Thiết lập các bất đẳng thức tương tự, cộng vế theo vế ta suy ra được điều phải chứng minh.
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $x=y=z=1$.
Thích ngủ.
#4
Đã gửi 09-08-2016 - 21:41
Cách 1: Áp dụng bđt AM-GM, ta có:
$x^3+x^3+1\geq3x^2\Rightarrow x^3\geq\frac{3x^2-1}{2}$
Tương tự: $y^3\geq\frac{3y^2-1}{2}$
$z^3\geq\frac{3z^2-1}{2}$
Cộng theo vế $\Rightarrow x^3+y^3+z^3\geq\frac{3(x^2+y^2+z^2)-3}{2}=3$
Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow x=y=z=1$
Cách 2: Áp dụng bđt Holder, ta có:
$(1^3+1^3+1^3)(x^3+y^3+z^3)(x^3+y^3+z^3)\geq(x^2+y^2+z^2)^3$
$\Rightarrow x^3+y^3+z^3\geq\sqrt{\frac{(x^2+y^2+z^2)^3}{3}}=3$
Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow x=y=z=1$
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh