Chủ đề này có 3 trả lời

[hoalong14012002]

x^3+y^3+z^3>=3

[githenhi512]

$x^3+x^3+1\geq 3x^2$

Tương tự $\Rightarrow 2(\sum x^3)\geq 3.3-3=3(đpcm)$

Dấu ''='' xr khi x=y=z=1

 

[L Lawliet]

x^3+y^3+z^3>=3

Lời giải.

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có $x^{3}+x^{3}+1\geq 3x^{2}$.

Thiết lập các bất đẳng thức tương tự, cộng vế theo vế ta suy ra được điều phải chứng minh.

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $x=y=z=1$.

[Dark Repulsor]

Cách 1: Áp dụng bđt AM-GM, ta có:

      $x^3+x^3+1\geq3x^2\Rightarrow x^3\geq\frac{3x^2-1}{2}$

Tương tự: $y^3\geq\frac{3y^2-1}{2}$

                 $z^3\geq\frac{3z^2-1}{2}$

Cộng theo vế $\Rightarrow x^3+y^3+z^3\geq\frac{3(x^2+y^2+z^2)-3}{2}=3$

Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow x=y=z=1$

 

Cách 2: Áp dụng bđt Holder, ta có:

      $(1^3+1^3+1^3)(x^3+y^3+z^3)(x^3+y^3+z^3)\geq(x^2+y^2+z^2)^3$

    $\Rightarrow x^3+y^3+z^3\geq\sqrt{\frac{(x^2+y^2+z^2)^3}{3}}=3$

Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow x=y=z=1$