Chủ đề này có 5 trả lời

[SuPeR NaM]

Cho a,b,c >0 và $a^3b^3+b^3c^3+c^3a^3=1$. Tìm min của $a^7+b^7+c^7$

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ngoc Hung: 09-08-2016 - 22:29

[Dark Repulsor]

Sử dụng bđt cơ bản $x^2+y^2+z^2 \geq xy+yz+zx$, ta có:

      $a^6+b^6+c^6 \geq a^3b^3+b^3c^3+c^3a^3=1$

Áp dụng bđt Holder:

      $3(a^7+b^7+c^7)^6 \geq (a^6+b^6+c^6)^7$

    $\Rightarrow a^7+b^7+c^7 \geq\sqrt[6]{\frac{(a^6+b^6+c^6)^7}{3}} \geq\frac{1}{\sqrt[6]{3}}$

Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{\sqrt[6]{3}}$

[SuPeR NaM]

Sử dụng bđt cơ bản $x^2+y^2+z^2 \geq xy+yz+zx$, ta có:

      $a^6+b^6+c^6 \geq a^3b^3+b^3c^3+c^3a^3=1$

Áp dụng bđt Holder:

      $3(a^7+b^7+c^7)^6 \geq (a^6+b^6+c^6)^7$

    $\Rightarrow a^7+b^7+c^7 \geq\sqrt[6]{\frac{(a^6+b^6+c^6)^7}{3}} \geq\frac{1}{\sqrt[6]{3}}$

Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{\sqrt[6]{3}}$

Cho mình hỏi cái bđt holder là c/m cái j ?? 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi SuPeR NaM: 09-08-2016 - 22:30

[Dark Repulsor]

Cho mình hỏi cái bđt holder là c/m cái j ?? 

Bạn có thể search nó trên mạng. Ở đây mình sử dụng như sau:

$(1^7+1^7+1^7)(a^7+b^7+c^7)(a^7+b^7+c^7)(a^7+b^7+c^7)(a^7+b^7+c^7)(a^7+b^7+c^7)(a^7+b^7+c^7)\geq(\sqrt[7]{1^7.a^7.a^7.a^7.a^7.a^7.a^7}+\sqrt[7]{1^7.b^7.b^7.b^7.b^7.b^7.b^7}+\sqrt[7]{1.c^7.c^7.c^7.c^7.c^7.c^7})^6$

 

Hoặc bạn có thể sử dụng bđt AM-GM chọn điểm rơi:

$a^7+a^7+a^7+a^7+a^7+a^7+\frac{1}{3\sqrt[6]{3}}\geq7\sqrt[7]{\frac{1}{3\sqrt[6]{3}}.(a^7)^6}=\frac{7a^6}{\sqrt[6]{3}}$

nhưng làm như vậy thì phức tạp hơn

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Dark Repulsor: 09-08-2016 - 23:05

[damte]

Chỗ áp dụng Holder ở trên, bạn có thể dùng AM-GM cho dễ hiểu. Sau khi đoán được điểm rơi tại $a=b=c=\frac{1}{\sqrt[6]{3}}$, ta làm như sau:

Áp dụng BĐT AM-GM cho 7 số dương, ta có: 

$6a^{7}+\frac{1}{\sqrt[6]{3}^{7}}\geq 7\sqrt[7]{(a^{7})^{6}\frac{1}{\sqrt[6]{3}^{7}}}=7\frac{a^{6}}{\sqrt[6]{3}}$

Tương tự:
$6b^{7}+\frac{1}{\sqrt[6]{3}^{7}}\geq 7\frac{b^{6}}{\sqrt[6]{3}}$
$6c^{7}+\frac{1}{\sqrt[6]{3}^{7}}\geq 7\frac{c^{6}}{\sqrt[6]{3}}$

Cộng 3 BĐT: 

$6(a^{7}+b^{7}+c^{7})+\frac{3}{\sqrt[6]{3}^{7}}\geq 7\frac{a^{6}+b^{6}+c^{6}}{\sqrt[6]{3}}\geq \frac{7}{\sqrt[6]{3}}$

$\Leftrightarrow 6(a^{7}+b^{7}+c^{7})\geq \frac{7}{\sqrt[6]{3}}-\frac{1}{\sqrt[6]{3}}=\frac{6}{\sqrt[6]{3}}$

$\Leftrightarrow min(a^{7}+b^{7}+c^{7})=\frac{1}{\sqrt[6]{3}}$

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ...

[HoangKhanh2002]

Áp dụng BĐT Cauchy cho 7 số : 3 số a⁷, 3 số b⁷ và 1 số 1, ta có:

$$3a^{7}+3b^7+1 \geq 7\sqrt[7]{a^{21}.b^{21}.1}=7a^3b^3$$              (1) 

Tương tự: $3b^7+3c^7+1 \geq 7b^3c^3$$3b^7+3c^7+1 \geq 7b^3c^3$                  (2)

$3c^7+3a^7 \geq 7c^3a^3$                                                                                       (3)

Cộng vế với vế 3 BĐT trên ta có:

6(a7+b⁷+c⁷)+3$\geq 7(a^3b^3+b^3c^3+c^3a^3)$

$\Leftrightarrow 6(a^7+b^7+c^7)+3\geq 7.3 \Leftrightarrow a^7+b^7+c^7 \geq 3$

Vậy min $a^7+b^7+c^7=3$

Dấu "=" xảy ra <=> a=b=c=1

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HoangKhanh2002: 11-08-2016 - 10:29