Cho a,b,c >0 và $a^3b^3+b^3c^3+c^3a^3=1$. Tìm min của $a^7+b^7+c^7$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ngoc Hung: 09-08-2016 - 22:29
Sử dụng bđt cơ bản $x^2+y^2+z^2 \geq xy+yz+zx$, ta có:
$a^6+b^6+c^6 \geq a^3b^3+b^3c^3+c^3a^3=1$
Áp dụng bđt Holder:
$3(a^7+b^7+c^7)^6 \geq (a^6+b^6+c^6)^7$
$\Rightarrow a^7+b^7+c^7 \geq\sqrt[6]{\frac{(a^6+b^6+c^6)^7}{3}} \geq\frac{1}{\sqrt[6]{3}}$
Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{\sqrt[6]{3}}$
Sử dụng bđt cơ bản $x^2+y^2+z^2 \geq xy+yz+zx$, ta có:
$a^6+b^6+c^6 \geq a^3b^3+b^3c^3+c^3a^3=1$
Áp dụng bđt Holder:
$3(a^7+b^7+c^7)^6 \geq (a^6+b^6+c^6)^7$
$\Rightarrow a^7+b^7+c^7 \geq\sqrt[6]{\frac{(a^6+b^6+c^6)^7}{3}} \geq\frac{1}{\sqrt[6]{3}}$
Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{\sqrt[6]{3}}$
Cho mình hỏi cái bđt holder là c/m cái j ??
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi SuPeR NaM: 09-08-2016 - 22:30
!!! Say Oh Yeah !!!
Cho mình hỏi cái bđt holder là c/m cái j ??
Bạn có thể search nó trên mạng. Ở đây mình sử dụng như sau:
$(1^7+1^7+1^7)(a^7+b^7+c^7)(a^7+b^7+c^7)(a^7+b^7+c^7)(a^7+b^7+c^7)(a^7+b^7+c^7)(a^7+b^7+c^7)\geq(\sqrt[7]{1^7.a^7.a^7.a^7.a^7.a^7.a^7}+\sqrt[7]{1^7.b^7.b^7.b^7.b^7.b^7.b^7}+\sqrt[7]{1.c^7.c^7.c^7.c^7.c^7.c^7})^6$
Hoặc bạn có thể sử dụng bđt AM-GM chọn điểm rơi:
$a^7+a^7+a^7+a^7+a^7+a^7+\frac{1}{3\sqrt[6]{3}}\geq7\sqrt[7]{\frac{1}{3\sqrt[6]{3}}.(a^7)^6}=\frac{7a^6}{\sqrt[6]{3}}$
nhưng làm như vậy thì phức tạp hơn
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Dark Repulsor: 09-08-2016 - 23:05
Chỗ áp dụng Holder ở trên, bạn có thể dùng AM-GM cho dễ hiểu. Sau khi đoán được điểm rơi tại $a=b=c=\frac{1}{\sqrt[6]{3}}$, ta làm như sau:
Áp dụng BĐT AM-GM cho 7 số dương, ta có:
$6a^{7}+\frac{1}{\sqrt[6]{3}^{7}}\geq 7\sqrt[7]{(a^{7})^{6}\frac{1}{\sqrt[6]{3}^{7}}}=7\frac{a^{6}}{\sqrt[6]{3}}$
Tương tự:
$6b^{7}+\frac{1}{\sqrt[6]{3}^{7}}\geq 7\frac{b^{6}}{\sqrt[6]{3}}$
$6c^{7}+\frac{1}{\sqrt[6]{3}^{7}}\geq 7\frac{c^{6}}{\sqrt[6]{3}}$
Cộng 3 BĐT:
Áp dụng BĐT Cauchy cho 7 số : 3 số a7, 3 số b7 và 1 số 1, ta có:
$$3a^{7}+3b^7+1 \geq 7\sqrt[7]{a^{21}.b^{21}.1}=7a^3b^3$$ (1)
Tương tự: $3b^7+3c^7+1 \geq 7b^3c^3$$3b^7+3c^7+1 \geq 7b^3c^3$ (2)
$3c^7+3a^7 \geq 7c^3a^3$ (3)
Cộng vế với vế 3 BĐT trên ta có:
6(a7+b7+c7)+3$\geq 7(a^3b^3+b^3c^3+c^3a^3)$
$\Leftrightarrow 6(a^7+b^7+c^7)+3\geq 7.3 \Leftrightarrow a^7+b^7+c^7 \geq 3$
Vậy min $a^7+b^7+c^7=3$
Dấu "=" xảy ra <=> a=b=c=1
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HoangKhanh2002: 11-08-2016 - 10:29
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh