Mọi người làm giúp mình mấy bài này nhé. Mình mới học, chưa có nhiều kinh nghiệm lắm.
1, Cho 69 số nguyên dương không vượt quá 100. Chứng minh rằng có thể chọn được 4 số a,b,c,d sao cho a<b<c và a+b+c=d.
2, Trên bàn cờ 10x10, người ta viết các số từ 1 đến 100, Mỗi hàng chọn ra số lớn thứ 3. Chứng minh rằng tồn tại một hàng có tổng các số trong hàng đó nhỏ hơn tổng các số lớn thứ 3 được chọn.
$1$) Ký hiệu và xếp thứ tự $69$ số đó là: $1\leq a_{1}<a_{2}<...<a_{69}\leq100$
Theo gt $\Rightarrow a_{1}\leq32$
Xét $2$ dãy: $1<a_{2}+a_{1}<a_{3}+a_{1}<...<a_{69}+a_{1}\leq132$
$1<a_{3}-a_{2}<a_{4}-a_{2}<...<a_{69}-a_{2}<100$
$2$ dãy trên gồm $134$ mà số hạng ở mỗi dãy khác nhau. Theo nguyên lý Dirichlet, tồn tại ít nhất $2$ số ở $2$ dãy bằng nhau $\Leftrightarrow$ i,j $\in${$3;4:...;69$} sao cho:
$a_{i}+a_{1}=a_{j}-a_{2} \Leftrightarrow a_{1}+a_{2}+a_{i}=a_{j}$ và $a_{1}<a_{2}<a_{j}$ (đpcm)
$2$) Ký hiệu các số lớn hơn $3$ trên mỗi hàng là $a_{0}>a_{1}>a_{2}>...>a_{9}$
Khi đó số phần tử lớn hơn $a_{0}$ nhiều nhất là $20$ (gồm các số lớn nhất hoặc lớn nhì mỗi hàng) $\Rightarrow$ $a\geq 80$
Chứng minh tương tự: $a_{1}\geq 78$ và $a_{8}\geq a_{9}+1 \Rightarrow a_{7}\geq a_{9}+2 \Rightarrow ... \Rightarrow a_{2}\geq a_{9}+7$
Do đó: $a_{0}+a_{1}+...+a_{9}\geq 80+78+(a_{9}+7)+...+a_{9}=8a_{9}+180$
Xét tổng các số thuộc hàng có chứa $a_{9}$. Tổng đó:
$S_{a_{9}}\leq 100+99+a_{9}+a_{9}-1+a_{9}-2+...+a_{9}-7=8a_{9}+171$
Vậy $S_{a_{9}}\leq a_{0}+a_{1}+a_{2}+...+a_{9}$. Bài toán đc c/m
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Dark Repulsor: 10-08-2016 - 23:26
