Có một số bạn nhắn tin hỏi mình về cách phân tích một bất đẳng thức nào đó về dạng tổng các bình phương hôm nay mình viết một bài nhỏ chia sẻ cách làm của mình. Bài viết này mình hướng dẫn cách làm đối với bất đẳng thức bậc $3$ các bậc khác thực hiện tương tự. 
Xét ví dụ đơn giản nhất
Ví dụ 1. Cho $a,b,c$ là ba số thực không âm. Chứng minh rằng
\[f_1 = a^3 + b^3 + c^3 - 3abc \geqslant 0.\]
Cách giải đơn giản của bài toán này là sử dụng phân tích
\begin{equation}\label{eq2}f_1 = \frac{1}{2}(a+b+c)[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2].\end{equation}
Ta xét một dạng tổng quát của bất đẳng thức đẳng thức bậc $3$ ba biến
\[F_1 = (m_3a+m_2b+m_1c)(a-b)^2+(m_3b+m_2c+m_1a)(b-c)^2+(m_3c+m_2a+m_1b)(c-a)^2,\]
trong đó $a,b,c$ là biến và $m_i \geqslant 0,\,(i = \overline{1,3})$ là hằng số (hàm $F_1$ này sinh ra tự động bằng một hàm do mình viết nên cách đánh số hơi không giống bình thường ).
Khai triển và nhóm $F_1$ lại dưới dạng
\[F_1 = (m_2+m_3)(a^3+b^3+c^3)+(m_1-2m_2+m_3)\sum ab(a+b)-6m_1abc.\]
Đồng nhất hệ số của $f$ và $F_1$ ta được
\[\left\{\begin{aligned}& m_2 + m_3 = 1 \\& m_1-2m_2+m_3 = 0\\&-6m_1 =-3\end{aligned}\right.\]
Giải hệ này ta được nghiệm $m_1 = m_2 = m_3 = \frac{1}{2}$ và dẫn đến phân tích \eqref{eq2} ở trên.
Ví dụ 2. Cho $a,b,c$ là ba số thực dương. Chứng minh rằng
\[f_2 = \frac{a}{b+c} + \frac{b}{c+a} + \frac{c}{a+b} - \frac{3}{2} \geqslant 0.\]
Vì
\[f_2 = \frac{\displaystyle 2(a^3+b^3+c^3)-ab(a+b)-bc(b+c)-ca(c+a)}{2(a+b)(b+c)(c+a)}.\]
Nên ta có hệ phương trình đồng nhất hệ số như sau
\[\left\{\begin{aligned}& m_2 + m_3 = 2 \\& m_1-2m_2+m_3 = -1\\&-6m_1 = 0\end{aligned}\right.\]
Giải hệ này ta được nghiệm $m_1 = 0, \,m_2 = 1, \,m_3 = 1$ từ đó dẫn đến
\[f_2 = \frac{(a+b)(a-b)^2+(b+c)(b-c)^2+(c+a)(c-a)^2}{2(a+b)(b+c)(c+a)}.\]
Ví dụ 3. Cho $a,b,c$ là ba số thực dương. Chứng minh rằng
\[f_3= (a+b+c)^3 - 27abc \geqslant 0.\]
Vì
\[f_3 = a^3+b^3+c^3+3\sum ab(a+b) - 21abc.\]
Nên ta có hệ phương trình đồng nhất hệ số như sau
\[\left\{\begin{aligned}& m_2 + m_3 = 1 \\& m_1-2m_2+m_3 = 3\\&-6m_1 = -21\end{aligned}\right.\]
Giải hệ này ta được $m_1 = \frac{7}{2},\,m_2 =\frac{1}{2},\,m_3 = \frac{1}{2}$ và có phân tích
\[f_3 = \frac{1}{2}(a+b+7c)(a-b)^2 + \frac{1}{2}(b+c+7a)(b-c)^2 + \frac{1}{2}(c+a+7b)(c-a)^2.\]
Hàm $F_1$ ở trên xử lý tương đối tốt đối với các bất đẳng thức đối xứng hoặc hoán vị tuy nhiên đối với các bài toán không đối xứng cũng không hoán vị thì sao, chẳng hạn như bài toán sau
Ví dụ 4. Cho $a,b,c$ là ba số thực dương. Chứng minh rằng
\[f_4 = \frac{a+3c}{a+b}+\frac{c+3a}{b+c}+\frac{4b}{c+a} - 6 \geqslant 0.\]
Rõ ràng với bài toán này thì hàm $F_1$ tỏ ra không hiệu quả ta cần tìm một hàm khác tốt hơn hay nói cách khác là tổng quát hơn.
Ta xét
\[F_2 = (m_3a+m_2b+m_1c)(a-b)^2+(m_6a+m_5b+m_4c)(b-c)^2+(m_9a+m_8b+m_7c)(c-a)^2,\]
với $m_i \geqslant 0 \, (i = \overline{1,9}).$
Gọi $\text{coef}_F\,a^3$ là hệ số của $a^3$ trong $F$ ta có
\[\left\{\begin{aligned}& \text{coef}_F\;a^3 = m_3 + m_9 \\& \text{coef}_F\;a^3 = m_2 + m_5 \\& \text{coef}_F\;c^3 = m_4 + m_7 \\& \text{coef}_F\;a^2b = m_2 -2m_3 + m_8 \\& \text{coef}_F\;b^2c = m_1 + m_4 -2m_5 \\& \text{coef}_F\;c^2a = m_6 - 2m_7 + m_9 \\&\text{coef}_F\;ab^2 = -2m_2 + m_3 + m_6 \\& \text{coef}_F\;bc^2 = -2m_4 + m_5 + m_8 \\& \text{coef}_F\;ca^2 = m_1 + m_7 - 2m_9 \\& \text{coef}_F\;abc = -2m_1 - 2m_6 - 2m_8\end{aligned}\right.\]
Lại có
\[f_4 = \frac{3a^3+4b^3+3c^3-2a^2b-2b^2c-c^2a-2ab^2-2bc^2-ca^2}{(a+b)(b+c)(c+a)}.\]
Đồng nhất hệ số của $f_4$ và $F_2$ ta được
\[\left\{\begin{aligned}& m_3 + m_9 = 3\\& m_2 + m_5 = 4\\& m_4 + m_7 = 3\\& m_2 -2m_3 + m_8 = -2 \\& m_1 + m_4 -2m_5 -2 \\& m_6 - 2m_7 + m_9 = -1\\& -2m_2 + m_3 + m_6 = -2\\& -2m_4 + m_5 + m_8 - 2\\& m_1 + m_7 - 2m_9 = -1 \\& -2m_1 - 2m_6 - 2m_8 = 0\end{aligned}\right.\]
Giải hệ phương trình này ta được $m_1= 0,\,m_2= 2,\,m_3= 2,\,m_4= 2,\,m_5= 2,\,m_6= 0,\,m_7= 1,\,m_8= 0,\,m_9= 1$ từ đó dẫn đến
\[f_4 = \frac{2(a+b)(a-b)^2+2(b+c)(b-c)^2+(c+a)(c-a)^2}{(a+b)(b+c)(c+a)}.\]
Sử dụng $F_2$ đề giải lại các ví dụ trước ta tìm được thêm một số kết quả như sau
\[f_1 = \frac{1}{2}(a+2b)(a-b)^2+\frac{3}{2}a(b-c)^2+\frac{1}{2}(2c+a)(c-a)^2,\]
và
\[f_3 = \frac{1}{2}(2a+2b+5c)(a-b)^2+\frac{1}{2}(c+8a)(b-c)^2+\frac{1}{2}(8b+c)(c-a)^2.\]
Trên đây là một trong số cách mà mình dùng để phân tích bình phương cho các bất đẳng thức thuần nhất tuy nhiên nó chưa phải là cách tốt nhất. Có một phương pháp tối ưu hơn đó là sử dụng thuật toán SUI của SUI Zhen-lin (thành viên szl6208 trên diễn đàn AoPS).
Trong lớp các bất đẳng thức bậc $3$ ba biến số không thể không nhắc đến hai bài toán nổi tiếng sau
Với $a,b,c$ là ba số thực không âm, khi đó
\[f_5 = 4(a+b+c)^3 - 27(a^2b+b^2c+c^2a+abc) \geqslant 0,\]
và
\[f_6 = a(a-b)(a-c)+b(b-c)(b-a)+c(c-a)(c-b) \geqslant 0.\]
Như đã biết $f_5$ là một bất đẳng thức nổi tiếng của GS.Vasile Cîrtoaje còn $f_6$ chính là bất đẳng thức Schur bậc $3$ quen thuộc.Và đây là phân tích của hai bài toán nổi tiếng này
\[f_5 = \displaystyle \frac{1}{6(a+b+c)}\sum \left [18ab+(4a+b-2c)^2\right](a-2b+c)^2,\]
\[f_6 = \frac{\displaystyle \left [ \sum ab(a+b)-6abc \right ](a-b)^2(b-c)^2(c-a)^2+abc\left(\sum a^2 - \sum bc\right)^3}{(a^2b+b^2c+c^2a-3abc)(ab^2+bc^2+ca^2-3abc)}.\]
Đây là hai video demo chương trình phân tích bình phương do mình viết: Video 1, Video 2.
Bài viết gốc ở đây.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyenhuyen_AG: 10-08-2016 - 16:32
