Chủ đề này có 10 trả lời

[Element hero Neos]

              TRƯỜNG THPT                                               ĐỀ THI VÔ ĐỊCH LẦN 1 NĂM 2016

         CHUYÊN VĨNH PHÚC                                                           MÔN TOÁN 10

                                                                                  Thời gian: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)

                                                                                                              Ngày 11/8/2016

 

Chúc các em ngon miệng!

 

Câu 1. 

   Cho a,b nguyên lớn hơn 1, (a,b)=1. Gọi p là một ước số nguyên tố lẻ của $A=a^{6^n}+b^{6^n}, n\in\mathbb{Z^+}$. Chứng minh $p\equiv 1(mod 2^{n+1})$.

 

Câu 2.

   Cho a,b,c không âm thỏa mãn $a+b+c=2$. Chứng minh rằng $\sqrt{a^2+bc}+\sqrt{b^2+ca}+\sqrt{c^2+ab}\leq 3$.

 

Câu 3.

   Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O). N thuộc cung nhỏ BC, M đối xứng với N qua BC sao cho BM, CM cắt các cạnh AC và AB tại D và E.

     a) Chứng minh rằng tứ giác AEMD nội tiếp.

     b) Tìm vị trí điểm N để diện tích tam giác ADE lớn nhất.

     c) Chứng minh rằng khi N di chuyển trên cung nhỏ BC thì tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE luôn nằm trên đường thẳng cố định.

 

Câu 4.

   Cho hai đường tròn (O) và (O^') cắt nhau tại A và B. Kẻ tiếp tuyến chung ngoài EF của hai đường tròn này (E thuộc (O) và F thuộc (O^')) sao cho B nằm trong tam giác AEF. Gọi M đối xứng với B qua EF.

     a) Chứng minh rằng tứ giác AEMF nội tiếp.

     b) Chứng minh các tiếp tuyến kẻ từ A và M của đường tròn ngoại tiếp tứ giác AEMF cắt nhau tại một điểm thuộc EF.

 

 

 

                        ----------Hết----------

[dungxibo123]

cho em hỏi N thuộc BC thì N có thể trùng B và C phải không ạ :V

[Element hero Neos]

cho em hỏi N thuộc BC thì N có thể trùng B và C phải không ạ :V

Nếu trùng thì hình không tồn tại tứ giác AEMD nên chắc không đâu nhỉ?

[Dark Repulsor]

Câu $3c)$ đường cố định là gì ấy nhỉ? Mình thấy đường đó đi qua trung điểm $AH$ 

P/s: Thấy mình học hình tệ quá 

[dungxibo123]

3c ₫ường cố định là đừờng nối O với trung điểm cuả đoạn nối A với trực tâm tam giác phải không?

[Dark Repulsor]

3c ₫ường cố định là đừờng nối O với trung điểm cuả đoạn nối A với trực tâm tam giác phải không?

Mình thấy nó đi qua $O$ đâu bạn 

Hình gửi kèm

• 

[dungxibo123]

bạn AnhThuBinhDuong123 đã giải ra bài 3 rồi nha nhưng vì nhát đánh chữ nên bạn ấy không đăng còn em thì không biết làm sao đăng cái ảnh lên nên nếu bạn nào quan tâm thì liên hệ qua FB mình. Mình gửi ảnh cho đăng lên nha 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dungxibo123: 13-08-2016 - 20:07

[I Love MC]

Câu 1. 

   Cho a,b nguyên lớn hơn 1, (a,b)=1. Gọi p là một ước số nguyên tố lẻ của $A=a^{6^n}+b^{6^n}, n\in\mathbb{Z^+}$. Chứng minh $p\equiv 1(mod 2^{n+1})$.

 

Đặt $a^{6^n}+b^{6^n}=tp$ . Viết $p=2^m.v+1$ 
Xét $m<n+1$ . Theo định lí Fermat $(a^{3^m.2^{n-m}})^{p-1} \equiv a^{3^m.2^{n-m}} \pmod{p}$ 
$\Leftrightarrow (a^{6^n})^{2^m.v} \equiv (b^{6^n})^{2^m.v} \equiv 1 \pmod{p} \Leftrightarrow (a^{6^n})^{2^m} \equiv (a^{6^n})^{2^m} \equiv 1 \pmod{p}$ 
Lại có $(a^{6^n})^v \equiv -(b^{6^n})^v \pmod{p}$ 
Từ đó ta có $p|2(b^{6^n})^v$ (vô lí ) 
Do đó $m \ge n+1 \Rightarrow p=2^m.v \equiv 1 \pmod{2^{n+1}}$

[tay du ki]

bài bất thì sao nhỉ !

[HoangKhanh2002]

    Câu 2.

   Cho a,b,c không âm thỏa mãn $a+b+c=2$. Chứng minh rằng $\sqrt{a^2+bc}+\sqrt{b^2+ca}+\sqrt{c^2+ab}\leq 3$.

 

Bài bất đẳng thức dùng dồn biến

Đặt $f(a,b,c) = \sum \sqrt{a^2+bc} $

Giả sử $a \geq b \geq c $

Khi đó $f(a+\frac{c}{2} ,b+\frac{c}{2} ; 0 ) = a+\frac{c}{2} + b+\frac{c}{2} + \sqrt{(a+\frac{c}{2})(b+\frac{c}{2} ) } $

Ta cần chứng minh $f(a+\frac{c}{2}; b+\frac{c}{2} ; 0 ) \geq f(a,b,c) $

Lấy 2 cái trừ nhau và nhân liên hợp, ta cần chứng minh 

$c[\frac{a-b+\frac{c}{4} }{a+\frac{c}{2} + \sqrt{a^2+bc} } + \frac{b-a+\frac{c}{4} }{b+\frac{c}{2} + \sqrt{b^2+ac} }  + \frac{\frac{a+b}{2} - \frac{3c}{4} }{ \sqrt{(a+\frac{c}{2})(b+\frac{c}{2} ) }+\sqrt{c^2-ab} }] \geq 0$

Do $c \geq 0 $ và $\frac{a+b}{2} - \frac{3c}{4} \geq 0 $

Do đó ,ta cần chứng minh tổng 2 căn đầu $>0 $

Thật vậy, ta có $a+\frac{c}{2} + \sqrt{a^2+bc} \geq b+\frac{c}{2} + \sqrt{b^2+ac} $

Do đó, ta có

$\frac{a-b+\frac{c}{4} }{a+\frac{c}{2} + \sqrt{a^2+bc} } + \frac{b-a+\frac{c}{4} }{b+\frac{c}{2} + \sqrt{b^2+ac} } $

$\geq \frac{a-b+\frac{c}{4} }{a+\frac{c}{2} + \sqrt{a^2+bc} } + \frac{b-a+\frac{c}{4} }{a+\frac{c}{2} + \sqrt{a^2+bc} } = \frac{c}{2(a+\frac{c}{2} + \sqrt{a^2+bc})} >0  $

Do đó $f(a+\frac{c}{2}; b+\frac{c}{2} ; 0 ) \geq f(a,b,c) $

Đặt $a+\frac{c}{2} =x ; b+\frac{c}{2} = y $

Khi đó $x+y = 2 $

Ta cần chứng minh $x+y+\sqrt{xy} \leq 3 $

Mà này hiển nhiên do $\sqrt{xy} \leq \frac{x+y}{2} $ 

Do đó ta có đpcm

Dấu bằng xảy ra khi $a=b=1; c=0 $ và các hoán vị tương ứng

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HoangKhanh2002: 15-10-2016 - 12:25

[Kiratran]

Câu 4
a, ta có $\angle BFE= \angle BAF$, $\angle BAE=\angle BEF$

=> đpcm
b, gọi $K$ là giao điểm của $AB$ và $FE$
có $\frac {AF}{BF}= \frac {AE}{BE} =\frac {FK}{BF}$

lại có $FM=BF$ , $ME=BE$
=> $AFME$ là tứ giác điều hòa => đpcm
 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Kiratran: 30-04-2017 - 16:39