Định lý Kobayashi : Cho một dãy số không bị chặn $(a_{n})_{n}$ các số nguyên thỏa mãn dãy này có tập ước số nguyên tố hữu hạn . Khi đó $t= 0$ là giá trị nguyên duy nhất để dãy $(a_{n}+t)_{n}$ cũng có tập ước số nguyên tố hữu hạn .
Ứng dụng : Về mặt thi olympic chưa thấy bài toán nào ngoài $2$ bài $N2$ và $Iran TST 2009 p2$ cả . Để tìm hiểu định lý này chúng ta có định lý sau .
Định lý Thue : Cho $f(x,y)$ là một đa thức khả quy hệ só nguyên , có bậc ít nhất là ba . Khi đó phương trình :
$$f(x,y)=m$$
Có không quá hữu hạn nghiệm .
Nhà toán Baker đi xa hơn , ông chứng minh với các phương trình $f(x,y)=m$ đã mô tả như trên , tồn tại sô $B$ phụ thuộc vào $m$ và các hệ số của $f$ sao cho mọi nghiệm nguyên $(x_{0},y_{0})$ của phương trình thì ta có :
$$max(|x_{0}|,|y_{0}|) \leq B$$
Nói riêng thì phương trình $Ax^{3}+By^{3}=C$ chỉ có hữu hạn nghiệm nguyên . Quay trở lại định lý Kobayashi , ta đặt $P(A_{t})$ là tập các số nguyên tố mà nếu $p \in P(A_{t})$ thì tồn tại một số nguyên không âm $n$ mà $p|a_{n}+t$ . Theo giả thiết thì $|P_{0}|$ là hữu hạn . Giả sử rằng $|P(A_{t})|$ là tập hữu hạn với $t$ khác $0$ .
Ở đây chúng ta chỉ quan tâm tới $t > 0$
Xét dãy số $b_{n}-a_{n}=t$ với mọi $n \geq 0$ . Mỗi số $a_{n},b_{n}$ lần lượt có dạng $\prod_{p \in P(A_{0})} p^{\alpha_{p}}$ và $\prod_{q \in P(A_{t})} q^{\beta_{q}}$ . Nếu với mỗi $\alpha_{p} \equiv a_{p}$ thì ta có thể thấy rằng
$p^{\alpha_{p}}=p^{a_{p}}.(p^{\frac{\alpha_{p}-a_{p}}{3}})^{3}$ nên $a_{n}=A.X^{3}$ với $A$ không phải là lập phương đúng . Tương tự cho $b_{n}$ như vậy thì $BY^{3}-AX^{3}=t$ ( $t >0$ , $A,B$ không là lập phương đúng ) . Số các giá trị $A,B$ chỉ là hữu hạn , mỗi cặp $(a_{n},b_{n})$ phải thỏa mãn một phương trình đó do đó tồn tại một phương trình có vô hạn nghiệm .
Theo định lý Axel Thue điều này không thể thỏa mãn , do đó $P(A_{t})$ phải là tập vô hạn .
File gửi kèm
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bangbang1412: 12-08-2016 - 03:37