Đến nội dung

Hình ảnh

Định lý Kobayashi

- - - - - kobayashi theorem

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 10 trả lời

#1
bangbang1412

bangbang1412

    Độc cô cầu bại

  • Phó Quản lý Toán Cao cấp
  • 1667 Bài viết

Định lý Kobayashi : Cho một dãy số không bị chặn $(a_{n})_{n}$ các số nguyên thỏa mãn dãy này có tập ước số nguyên tố hữu hạn . Khi đó $t= 0$ là giá trị nguyên duy nhất để dãy $(a_{n}+t)_{n}$ cũng có tập ước số nguyên tố hữu hạn .

Ứng dụng : Về mặt thi olympic chưa thấy bài toán nào ngoài $2$ bài $N2$ và $Iran TST 2009 p2$ cả . Để tìm hiểu định lý này chúng ta có định lý sau .

Định lý Thue : Cho $f(x,y)$ là một đa thức khả quy hệ só nguyên , có bậc ít nhất là ba  . Khi đó phương trình :

$$f(x,y)=m$$

Có không quá hữu hạn nghiệm .

Nhà toán Baker đi xa hơn , ông chứng minh với các phương trình $f(x,y)=m$ đã mô tả như trên , tồn tại sô $B$ phụ thuộc vào $m$ và các hệ số của $f$ sao cho mọi nghiệm nguyên $(x_{0},y_{0})$ của phương trình thì ta có :

$$max(|x_{0}|,|y_{0}|) \leq B$$

Nói riêng thì phương trình $Ax^{3}+By^{3}=C$ chỉ có hữu hạn nghiệm nguyên . Quay trở lại định lý Kobayashi , ta đặt $P(A_{t})$ là tập các số nguyên tố mà nếu $p \in P(A_{t})$ thì tồn tại một số nguyên không âm $n$ mà $p|a_{n}+t$ . Theo giả thiết thì $|P_{0}|$ là hữu hạn . Giả sử rằng $|P(A_{t})|$ là tập hữu hạn với $t$ khác $0$ .

Ở đây chúng ta chỉ quan tâm tới $t > 0$

Xét dãy số $b_{n}-a_{n}=t$ với mọi $n \geq 0$ . Mỗi số $a_{n},b_{n}$ lần lượt có dạng $\prod_{p \in P(A_{0})} p^{\alpha_{p}}$ và $\prod_{q \in P(A_{t})} q^{\beta_{q}}$ . Nếu với mỗi $\alpha_{p} \equiv a_{p}$ thì ta có thể thấy rằng

$p^{\alpha_{p}}=p^{a_{p}}.(p^{\frac{\alpha_{p}-a_{p}}{3}})^{3}$  nên $a_{n}=A.X^{3}$ với $A$ không phải là lập phương đúng . Tương tự cho $b_{n}$ như vậy thì $BY^{3}-AX^{3}=t$ ( $t >0$ , $A,B$ không là lập phương đúng ) . Số các giá trị $A,B$ chỉ là hữu hạn , mỗi cặp $(a_{n},b_{n})$ phải thỏa mãn một phương trình đó do đó tồn tại một phương trình có vô hạn nghiệm .

Theo định lý Axel Thue điều này không thể thỏa mãn , do đó $P(A_{t})$ phải là tập vô hạn .

File gửi kèm


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bangbang1412: 12-08-2016 - 03:37

$$[\Psi_f(\mathbb{1}_{X_{\eta}}) ] = \sum_{\varnothing \neq J} (-1)^{\left|J \right|-1} [\mathrm{M}_{X_{\sigma},c}^{\vee}(\widetilde{D}_J^{\circ} \times_k \mathbf{G}_{m,k}^{\left|J \right|-1})] \in K_0(\mathbf{SH}_{\mathfrak{M},ct}(X_{\sigma})).$$


#2
Nxb

Nxb

    Thiếu úy

  • ĐHV Toán học Hiện đại
  • 679 Bài viết

 

Định lý Kobayashi : Cho một dãy số không bị chặn $(a_{n})_{n}$ các số nguyên thỏa mãn dãy này có tập ước số nguyên tố hữu hạn . Khi đó $t= 0$ là giá trị nguyên duy nhất để dãy $(a_{n}+t)_{n}$ cũng có tập ước số nguyên tố hữu hạn .

Ứng dụng : Về mặt thi olympic chưa thấy bài toán nào ngoài $2$ bài $N2$ và $Iran TST 2009 p2$ cả . Để tìm hiểu định lý này chúng ta có định lý sau .

Định lý Thue : Cho $f(x,y)$ là một đa thức khả quy hệ só nguyên , có bậc ít nhất là ba  . Khi đó phương trình :

$$f(x,y)=m$$

Có không quá hữu hạn nghiệm .

Nhà toán Baker đi xa hơn , ông chứng minh với các phương trình $f(x,y)=m$ đã mô tả như trên , tồn tại sô $B$ phụ thuộc vào $m$ và các hệ số của $f$ sao cho mọi nghiệm nguyên $(x_{0},y_{0})$ của phương trình thì ta có :

$$max(|x_{0}|,|y_{0}|) \leq B$$

Nói riêng thì phương trình $Ax^{3}+By^{3}=C$ chỉ có hữu hạn nghiệm nguyên . Quay trở lại định lý Kobayashi , ta đặt $P(A_{t})$ là tập các số nguyên tố mà nếu $p \in P(A_{t})$ thì tồn tại một số nguyên không âm $n$ mà $p|a_{n}+t$ . Theo giả thiết thì $|P_{0}|$ là hữu hạn . Giả sử rằng $|P(A_{t})|$ là tập hữu hạn với $t$ khác $0$ .

Ở đây chúng ta chỉ quan tâm tới $t > 0$

Xét dãy số $b_{n}-a_{n}=t$ với mọi $n \geq 0$ . Mỗi số $a_{n},b_{n}$ lần lượt có dạng $\prod_{p \in P(A_{0})} p^{\alpha_{p}}$ và $\prod_{q \in P(A_{t})} q^{\beta_{q}}$ . Nếu với mỗi $\alpha_{p} \equiv a_{p}$ thì ta có thể thấy rằng

$p^{\alpha_{p}}=p^{a_{p}}.(p^{\frac{\alpha_{p}-a_{p}}{3}})^{3}$  nên $a_{n}=A.X^{3}$ với $A$ không phải là lập phương đúng . Tương tự cho $b_{n}$ như vậy thì $BY^{3}-AX^{3}=t$ ( $t >0$ , $A,B$ không là lập phương đúng ) . Số các giá trị $A,B$ chỉ là hữu hạn , mỗi cặp $(a_{n},b_{n})$ phải thỏa mãn một phương trình đó do đó tồn tại một phương trình có vô hạn nghiệm .

Theo định lý Axel Thue điều này không thể thỏa mãn , do đó $P(A_{t})$ phải là tập vô hạn .

 

Rất hoan nghênh nhưng bạn làm thế này không tốt cho box này tí nào cả. Xin bạn hãy đưa sang box toán sơ cấp hoặc đổi nó thành post bàn về các phương trình Thue thì tốt hơn, nhưng kể cả thế nó cũng không đặt đây được vì nó chỉ là nhập môn cho phương trình Diophantine thôi. Cái Kobayashi làm chả có ý nghĩa gì đặc biệt cả. Tôi ít học nhưng vô cùng mong những trao đổi nghiêm túc. Hi vọng bạn hiểu nếu có ai theo toán và muốn hoạt động trên diễn đàn, họ chẳng còn hứng thú gì nữa vì nó không nghiêm túc chút nào cả. 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nxb: 12-08-2016 - 11:06


#3
bangbang1412

bangbang1412

    Độc cô cầu bại

  • Phó Quản lý Toán Cao cấp
  • 1667 Bài viết
:) vâng em nhầm em cảm ơn anh .

$$[\Psi_f(\mathbb{1}_{X_{\eta}}) ] = \sum_{\varnothing \neq J} (-1)^{\left|J \right|-1} [\mathrm{M}_{X_{\sigma},c}^{\vee}(\widetilde{D}_J^{\circ} \times_k \mathbf{G}_{m,k}^{\left|J \right|-1})] \in K_0(\mathbf{SH}_{\mathfrak{M},ct}(X_{\sigma})).$$


#4
Nxb

Nxb

    Thiếu úy

  • ĐHV Toán học Hiện đại
  • 679 Bài viết

:) vâng em nhầm em cảm ơn anh .

OK. Nói một chút về phương trình Thue. Đa thức f phải có dạng

$$f(x,y)=a_d x^d+a_{d-1}x^{d-1}y+...+a_0$$

với các hệ số nguyên thì ta mới có định lý Thue.

Tôi viết lại chứng minh định lý Thue ở đây cho bạn nào quan tâm theo sách của Schmidt. Vẫn với kí hiệu như trên, giả sử phương trình có nghiệm, theo định lý cơ bản của đại số, ta có thể viết lại như sau, lấy giá trị tuyệt đối.

$$|y^d a_d \prod_{i=1}^{d} (\alpha_i-\frac{x}{y})|=|m|$$

Ta có thể giả sử $|\alpha_1-\frac{x}{y}|=min|\alpha_i-\frac{x}{y}|$ và đặt $\gamma=min \frac{1}{2}|\alpha_i-\alpha_j|$. Nếu y đủ lớn thì $|\alpha_1-\frac{x}{y}|$ nhỏ hơn $\gamma$. Nên

$$|\alpha_i-\frac{x}{y}|\geq |\alpha_1-\alpha_i|-|\alpha_1-\frac{x}{y}|\geq \gamma$$. Như vậy

$$|\alpha_1-\frac{x}{y}|\leq |\frac{m}{a_d\gamma^{d-1}y^d}|=\frac{c}{|y|^d}$$. Đến đây ta kết luận được có hữu hạn x/y nhờ định lý Roth. Nếu $\alpha$ là đại số (nghiệm của một phương trình đa thức hệ số hữu tỉ) và $\delta >0$ thì có hữu hạn số hữu tỉ x/y thỏa mãn

$$|\alpha-\frac{x}{y}|<\frac{1}{y^{2+\delta}}$$

Nhìn hình thức khá đơn giản nên mình rất bất ngờ nhờ định lý này mà Roth được giải Fields (ông nâng số mũ của y > 2). Lập luận trên của Schmidt có vẻ nhiều chỗ "không chặt chẽ", làm rõ ra sẽ thấy rất nhiều cái thú vị.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nxb: 13-08-2016 - 05:55


#5
bangbang1412

bangbang1412

    Độc cô cầu bại

  • Phó Quản lý Toán Cao cấp
  • 1667 Bài viết

OK. Nói một chút về phương trình Thue. Đa thức f phải có dạng

$$f(x,y)=a_d x^d+a_{d-1}x^{d-1}y+...+a_0$$

với các hệ số nguyên thì ta mới có định lý Thue.

Tôi viết lại chứng minh định lý Thue ở đây cho bạn nào quan tâm theo sách của Schmidt. Vẫn với kí hiệu như trên, giả sử phương trình có nghiệm, theo định lý cơ bản của đại số, ta có thể viết lại như sau, lấy giá trị tuyệt đối.

$$|y^d a_d \prod_{i=1}^{d} (\alpha_i-\frac{x}{y})|=|m|$$

Ta có thể giả sử $|\alpha_1-\frac{x}{y}|=min|\alpha_i-\frac{x}{y}|$ và đặt $\gamma=min \frac{1}{2}|\alpha_i-\alpha_j|$. Nếu y đủ lớn thì $|\alpha_1-\frac{x}{y}|$ nhỏ hơn $\gamma$. Nên

$$|\alpha_1-\frac{x}{y}|\geq |\alpha_1-\alpha_i|-|\alpha_i-\frac{x}{y}|\geq \gamma$$. Như vậy

$$|\alpha_1-\frac{x}{y}|\leq |\frac{m}{a_d\gamma^{d-1}y^d}|=\frac{c}{|y|^d}$$. Đến đây ta kết luận được có hữu hạn x/y nhờ định lý Roth. Nếu $\alpha$ là đại số (nghiệm của một phương trình đa thức hệ số hữu tỉ) và $\delta >0$ thì có hữu hạn số hữu tỉ x/y thỏa mãn

$$|\alpha-\frac{x}{y}|<\frac{1}{y^{2+\delta}}$$

Nhìn hình thức khá đơn giản nên mình rất bất ngờ nhờ định lý này mà Roth được giải Fields (ông nâng số mũ của y > 2). Lập luận trên của Schmidt có vẻ nhiều chỗ "không chặt chẽ", làm rõ ra sẽ thấy rất nhiều cái thú vị.

Cái đoạn $y$ đủ lớn là sao anh ? Hơn nữa em thấy không có  tài liệu nói về định lý kobayashi , dù nó khá là hay , đây chỉ nói ở mặt sơ cấp ? 

 

File gửi kèm


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bangbang1412: 12-08-2016 - 19:05

$$[\Psi_f(\mathbb{1}_{X_{\eta}}) ] = \sum_{\varnothing \neq J} (-1)^{\left|J \right|-1} [\mathrm{M}_{X_{\sigma},c}^{\vee}(\widetilde{D}_J^{\circ} \times_k \mathbf{G}_{m,k}^{\left|J \right|-1})] \in K_0(\mathbf{SH}_{\mathfrak{M},ct}(X_{\sigma})).$$


#6
Nxb

Nxb

    Thiếu úy

  • ĐHV Toán học Hiện đại
  • 679 Bài viết

Cái đoạn $y$ đủ lớn là sao anh ? Hơn nữa em thấy không có  tài liệu nói về định lý kobayashi , dù nó khá là hay , đây chỉ nói ở mặt sơ cấp ? 

Ta đang cố gắng chứng minh phương trình có hữu hạn nghiệm mà y nguyên nên ta có thể giả thiết y lớn đến mức nào đó (Với mỗi y, có không quá d x để (x,y) là nghiệm) để $|\alpha_1-\frac{x}{y}|<\gamma$. Bạn có thể trình bày cách định lý Kobayashi áp dụng vào bài toán khác? 



#7
bangbang1412

bangbang1412

    Độc cô cầu bại

  • Phó Quản lý Toán Cao cấp
  • 1667 Bài viết
Có một bài toán điển hình là bài toán iran TST $2009$ trong đó dãy $a_{n}=2^{2^{n}}$ . Cách chứng minh không dùng kobayashi thì em chưa tham khảo . Một bài toán nữa trong IMo shortlist . Tuy nhiên hiện nay ở trang aops và cả google chưa tìm thấy nhiều ứng dụng của định lý này vào mặt sơ cấp . :) sẽ cố gắng tìm hiểu thêm vì nó đẹp ntn mà không ai khai quật .

$$[\Psi_f(\mathbb{1}_{X_{\eta}}) ] = \sum_{\varnothing \neq J} (-1)^{\left|J \right|-1} [\mathrm{M}_{X_{\sigma},c}^{\vee}(\widetilde{D}_J^{\circ} \times_k \mathbf{G}_{m,k}^{\left|J \right|-1})] \in K_0(\mathbf{SH}_{\mathfrak{M},ct}(X_{\sigma})).$$


#8
Nxb

Nxb

    Thiếu úy

  • ĐHV Toán học Hiện đại
  • 679 Bài viết
We can try to improve the theorem. For example, the dependence between cardinality of primes of sequence $a_n+t_n$ and $t_n$. But it seems to be hard because of the proof of original theorem.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nxb: 12-08-2016 - 21:48


#9
Nxb

Nxb

    Thiếu úy

  • ĐHV Toán học Hiện đại
  • 679 Bài viết

Có một bài toán điển hình là bài toán iran TST $2009$ trong đó dãy $a_{n}=2^{2^{n}}$ . Cách chứng minh không dùng kobayashi thì em chưa tham khảo . Một bài toán nữa trong IMo shortlist . Tuy nhiên hiện nay ở trang aops và cả google chưa tìm thấy nhiều ứng dụng của định lý này vào mặt sơ cấp . :) sẽ cố gắng tìm hiểu thêm vì nó đẹp ntn mà không ai khai quật .

Giờ mới để ý là phát biểu có vấn đề. Chẳng hạn dãy là $a_n=p$ và $t=p$ định lý sai. Anh đã đọc bài viết của Kobayashi. Từ trung học mà ông ấy đã biết dùng hình học Diophantine rồi :3. Anh viết lại ở đây.

 

Giả sử M là một tập các số nguyên có hữu hạn ước nguyên tố, a là một số nguyên khác 0, m là số nguyên $\geq 3$ và $(b_t)_{t \in M}$ là một họ các số nguyên. Đặt N=$\left\{a+b_t^{m}.t|t\in M\right\}$. Nếu N là vô hạn thì N có vô hạn ước nguyên tố. 

 

Ta nên tập trung vào phát biểu này thôi để không làm việc vô ích, cũng không nên gượng ép tìm hay tạo ra bài toán nào cả.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nxb: 13-08-2016 - 06:09


#10
bangbang1412

bangbang1412

    Độc cô cầu bại

  • Phó Quản lý Toán Cao cấp
  • 1667 Bài viết
:) đúng là trong tài liệu kèn theo viết như vậy , còn đoạn trên em dịch ở mathlink có vẻ cũng sai . :D cứ tin tưởng họ .
Ngoài cái trên hy vọng ở mức độ olympic chúng ta sưu tầm thêm được một số định lý nữa . Nhưng cũng không lạm dụng chúng .

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bangbang1412: 13-08-2016 - 07:03

$$[\Psi_f(\mathbb{1}_{X_{\eta}}) ] = \sum_{\varnothing \neq J} (-1)^{\left|J \right|-1} [\mathrm{M}_{X_{\sigma},c}^{\vee}(\widetilde{D}_J^{\circ} \times_k \mathbf{G}_{m,k}^{\left|J \right|-1})] \in K_0(\mathbf{SH}_{\mathfrak{M},ct}(X_{\sigma})).$$


#11
lamNMP01

lamNMP01

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 96 Bài viết

 

Định lý Kobayashi : Cho một dãy số không bị chặn $(a_{n})_{n}$ các số nguyên thỏa mãn dãy này có tập ước số nguyên tố hữu hạn . Khi đó $t= 0$ là giá trị nguyên duy nhất để dãy $(a_{n}+t)_{n}$ cũng có tập ước số nguyên tố hữu hạn .

Ứng dụng : Về mặt thi olympic chưa thấy bài toán nào ngoài $2$ bài $N2$ và $Iran TST 2009 p2$ cả . Để tìm hiểu định lý này chúng ta có định lý sau .

Định lý Thue : Cho $f(x,y)$ là một đa thức khả quy hệ só nguyên , có bậc ít nhất là ba  . Khi đó phương trình :

$$f(x,y)=m$$

Có không quá hữu hạn nghiệm .

Nhà toán Baker đi xa hơn , ông chứng minh với các phương trình $f(x,y)=m$ đã mô tả như trên , tồn tại sô $B$ phụ thuộc vào $m$ và các hệ số của $f$ sao cho mọi nghiệm nguyên $(x_{0},y_{0})$ của phương trình thì ta có :

$$max(|x_{0}|,|y_{0}|) \leq B$$

Nói riêng thì phương trình $Ax^{3}+By^{3}=C$ chỉ có hữu hạn nghiệm nguyên . Quay trở lại định lý Kobayashi , ta đặt $P(A_{t})$ là tập các số nguyên tố mà nếu $p \in P(A_{t})$ thì tồn tại một số nguyên không âm $n$ mà $p|a_{n}+t$ . Theo giả thiết thì $|P_{0}|$ là hữu hạn . Giả sử rằng $|P(A_{t})|$ là tập hữu hạn với $t$ khác $0$ .

Ở đây chúng ta chỉ quan tâm tới $t > 0$

Xét dãy số $b_{n}-a_{n}=t$ với mọi $n \geq 0$ . Mỗi số $a_{n},b_{n}$ lần lượt có dạng $\prod_{p \in P(A_{0})} p^{\alpha_{p}}$ và $\prod_{q \in P(A_{t})} q^{\beta_{q}}$ . Nếu với mỗi $\alpha_{p} \equiv a_{p}$ thì ta có thể thấy rằng

$p^{\alpha_{p}}=p^{a_{p}}.(p^{\frac{\alpha_{p}-a_{p}}{3}})^{3}$  nên $a_{n}=A.X^{3}$ với $A$ không phải là lập phương đúng . Tương tự cho $b_{n}$ như vậy thì $BY^{3}-AX^{3}=t$ ( $t >0$ , $A,B$ không là lập phương đúng ) . Số các giá trị $A,B$ chỉ là hữu hạn , mỗi cặp $(a_{n},b_{n})$ phải thỏa mãn một phương trình đó do đó tồn tại một phương trình có vô hạn nghiệm .

Theo định lý Axel Thue điều này không thể thỏa mãn , do đó $P(A_{t})$ phải là tập vô hạn .

 

Năm 2016 thì năm nay có bài Iran Final Round 3 nữa anh ạ


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi lamNMP01: 25-05-2017 - 20:50





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh