Chủ đề này có 5 trả lời

[lovemath99]

Tính tích phân:

1.$$\int_{0}^{1/9}(5^{3x}+\dfrac{x}{sin^2(2x+1)}+\dfrac{1}{\sqrt[5]{4x-1}})dx$$

2.$$\int_{1}^{e}(x.lnx)^2dx$$

 

[Minhnguyenthe333]

1) Trước tiên ta tìm $\int \frac{xdx}{\sin^2(2x+1)}$

 

Đặt $\left\{\begin{matrix}dv=\frac{1}{\sin^2(2x+1)}\iff v=-\frac{cot(2x+1)}{2}\\ u=x\iff du=1\end{matrix}\right.$

 

$\int \frac{xdx}{\sin^2(2x+1)}=-\frac{x\cot(2x+1)}{2}+\int \frac{\cot(2x+1)dx}{2}$

 

Đặt $t=2x+1\iff dt=2dx\implies \int \frac{\cot(2x+1)dx}{2}=\frac{1}{4}\int \cot(t)dt=\frac{\ln|\sin(2x+1)|}{4}$

 

$\implies \int \frac{xdx}{\sin^2(2x+1)}=\frac{\ln|\sin(2x+1)|-2x\cot(2x+1)}{4}$

Mặt khác

$\int 5^{3x}dx=\frac{125^x}{\ln(125)}$

 

Xét $\int \frac{1}{\sqrt[5]{4x-1}}dx$

Đặt $t=\sqrt[5]{4x-1}\iff x=\frac{t^5+1}{4}\implies dx=\frac{5t^4dt}{4}$

$\implies \int \frac{1}{\sqrt[5]{4x-1}}dx=\int \frac{5t^3dt}{4}=\frac{5t^4}{16}=\frac{5(4x-1)^{\frac{4}{5}}}{16}$

 

$\iff I=\frac{\ln|\sin(2x+1)|-2x\cot(2x+1)}{4}+\frac{5(4x-1)^{\frac{4}{5}}}{16}+\frac{125^x}{\ln(125)}$

 

 

2)Ta tìm nguyên hàm rồi thay số:

 

Đặt $\left\{\begin{matrix} u=\ln^2(x)\iff du=\frac{2\ln(x)}{x}\\ dv=x^2\iff v=\frac{x^3}{3}\end{matrix}\right.$

 

$\implies \int x^2.\ln^2(x)dx=\frac{2x^2.\ln^2(x)}{3}-\frac{2}{3}\int x^2.\ln(x)dx$

 

Tiếp tục đặt $u_0=\ln(x)\iff du_0=\frac{1}{x}$ và $dv_0=x^2\iff v_0=\frac{x^3}{3}$

 

$\implies \int x^2.\ln^2(x)dx=x^3\left (\frac{\ln^2(x)}{3}-\frac{2\ln(x)}{9}+\frac{2}{27}\right )\iff  \int_{1}^{e} x^2.\ln^2(x)dx=\frac{5e^3-2}{27}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Minhnguyenthe333: 12-08-2016 - 17:58

[lovemath99]

Ta tìm nguyên hàm rồi thay số:

Đặt $\left\{\begin{matrix}u=\ln^2(x)\iff du=\frac{2\ln(x)}{x}\\dv=x^2\iff v=\frac{x^3}{3}\end{matrix}\right.$

 

$\implies \int x^2.\ln^2(x)dx=\frac{2x^2.\ln^2(x)}{3}-\frac{2}{3}\int x^2.\ln(x)dx$

Tiếp tục đặt $u_0=\ln(x)\iff du_0=\frac{1}{x}$ và $dv_0=x^2\iff v=\frac{x^3}{3}$

 

$\implies \int x^2.\ln^2(x)dx=x^3\left (\frac{\ln^2(x)}{3}-\frac{2\ln(x)}{9}+\frac{2}{27}\right )\iff  \int_{1}^{e} x^2.\ln^2(x)dx=\frac{5e^3-2}{27}$

Mình cũng nghĩ ra cách này rồi nhưng không biết còn cách nào nhanh hơn không.

[Minhnguyenthe333]

Mình cũng nghĩ ra cách này rồi nhưng không biết còn cách nào nhanh hơn không.

Mình nghĩ 2 bài này dùng pp tích phân từng phần là hiệu quả nhất rồi...

[lovemath99]

Mình nghĩ 2 bài này dùng pp tích phân từng phần là hiệu quả nhất rồi...

Uk, mình cũng đang học tích phân từng phần.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi lovemath99: 12-08-2016 - 17:51

[Minhnguyenthe333]

Giúp mình nốt bài 1 luôn với.

Đặt $I$ là nguyên hàm cần tìm

$\int 5^{3x}dx=\frac{125^x}{\ln(125)}$

 

Xét $\int \frac{1}{\sqrt[5]{4x-1}}dx$

Đặt $t=\sqrt[5]{4x-1}\iff x=\frac{t^5+1}{4}\implies dx=\frac{5t^4dt}{4}$

$\implies \int \frac{1}{\sqrt[5]{4x-1}}dx=\int \frac{5t^3dt}{4}=\frac{5t^4}{16}=\frac{5(4x-1)^{\frac{4}{5}}}{16}$

 

$\iff I=\frac{\ln|\sin(2x+1)|-2x\cot(2x+1)}{4}+\frac{5(4x-1)^{\frac{4}{5}}}{16}+\frac{125^x}{\ln(125)}$