Chủ đề này có 4 trả lời

[phoenix115]

Cho $a, b$ là các số nguyên dương thõa mãn: $a^2+b^2\vdots ab$

Tính giá trị của biểu thức: $A=\frac{a^2+b^2}{2ab}$

Giải chi tiết nhé!!

[tpdtthltvp]

Cho $a, b$ là các số nguyên dương thõa mãn: $a^2+b^2\vdots ab$

Tính giá trị của biểu thức: $A=\frac{a^2+b^2}{2ab}$

Giải chi tiết nhé!!

Đặt $k=\frac{a^2+b^2}{ab}$, cố định $k$ và trong các cặp $(a,b)$ nguyên dương thỏa mãn $k$ nguyên, chọn ra cặp $(a_0,b_0)$ thỏa mãn $a_0+b_0$ nhỏ nhất và $a_0 \geq b_0.$

Xét phương trình bậc $2$ ẩn $x:$    $x^2-kb_0x+b_0^2=0.$

Dễ thấy phương tình này có $1$ nghiệm là $a_0,$ gọi nghiệm còn lại là $t$ thì theo định lí $Viete,$ ta có: $\left\{\begin{matrix} t+a_0=kb_0 \;\;\ (1) \\ ta_0=b_0^2 \end{matrix}\right.$

Do tính nhỏ nhất của $a_0+b_0$ nên $t \geq a_0.$ Từ $(1)$ suy ra $kb_0\geq a_0+a_0=2a_0\Rightarrow \frac{a_0}{b_0}\leq \frac{k}{2}$

Như vậy: $k=\frac{a_0}{b_0}+\frac{b_0}{a_0}\leq \frac{k}{2}+1\Rightarrow k\leq 2$

Do đó, $k\in \left \{ 1;2 \right \}.$ mà $a^2+b^2\geq 2ab>ab$ nên $k>1.$ Từ đó $k=2$ suy ra $a=b.$ rồi tính được $A=1$

Vậy $A=1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tpdtthltvp: 12-08-2016 - 20:40

[phoenix115]

Đặt $k=\frac{a^2+b^2}{ab}$, cố định $k$ và trong các cặp $(a,b)$ nguyên dương thỏa mãn $k$ nguyên, chọn ra cặp $(a_0,b_0)$ thỏa mãn $a_0+b_0$ nhỏ nhất và $a_0 \geq b_0.$

Xét phương trình bậc $2$ ẩn $x:$    $x^2-kb_0x+b_0^2=0.$

Dễ thấy phương tình này có $1$ nghiệm là $a_0,$ gọi nghiệm còn lại là $t$ thì theo định lí $Viete,$ ta có: $\left\{\begin{matrix} t+a_0=kb_0 \;\;\ (1) \\ ta_0=b_0^2 \end{matrix}\right.$

Do tính nhỏ nhất của $a_0+b_0$ nên $t \geq a_0.$ Từ $(1)$ suy ra $kb_0\geq a_0+a_0=2a_0\Rightarrow \frac{a_0}{b_0}\leq \frac{k}{2}$

Như vậy: $k=\frac{a_0}{b_0}+\frac{b_0}{a_0}\leq \frac{k}{2}+1\Rightarrow k\leq 2$

Do đó, $k\in \left \{ 1;2 \right \}.$ mà $a^2+b^2\geq 2ab>ab$ nên $k>1.$ Từ đó $k=2$ suy ra $a=b.$ rồi tính được $A=1$

Vậy $A=1$

Bạn giải thích chỗ này được ko.  Do tính nhỏ nhất của $a_0+b_0$ nên $t \geq a_0.$ 

Bạn giả sử $a_0 \geq b_0.$.  Theo mình thấy thì:

$a^2_0\geq b^2_0=t.a_0$

$\Rightarrow a_0\geq t$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tpdtthltvp: 13-08-2016 - 11:21

[tpdtthltvp]

Bạn giải thích chỗ này được ko.  Do tính nhỏ nhất của $a_0+b_0$ nên $t \geq a_0.$ 

Bạn giả sử $a_0 \geq b_0.$.  Theo mình thấy thì:

$a^2_0\geq b^2_0=t.a_0$

$\Rightarrow a_0\geq t$

Dễ dàng suy ra được $t$ cũng nguyên dương. Các cặp $(a_0;b_0);(b_0;t)$ đều thỏa mãn phương trình bậc $2$ đang xét mà $a_0+b_0$ nhỏ nhất nên $a_0+b_0 \leq b_0+t.$ Do đó $a_0\leq t$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tpdtthltvp: 13-08-2016 - 12:07

[Minhnguyenthe333]

Cho $a, b$ là các số nguyên dương thõa mãn: $a^2+b^2\vdots ab$

Tính giá trị của biểu thức: $A=\frac{a^2+b^2}{2ab}$

Giải chi tiết nhé!!

Một cách ngắn hơn:

Đặt $d=\gcd(a,b)\iff a=dm$ và $b=dn$ với $\gcd(m,n)=1$

$ab\mid a^2+b^2\iff mn\mid m^2+n^2\implies kmn=m^2+n^2$ với $k$ nguyên dương

Dễ thấy $n\mid m^2$ và $m\mid n^2$ mà $\gcd(m,n)=1$ kéo theo $m=n=1$

$\implies A=1$