Chủ đề này có 1 trả lời

[ineX]

Bài toán: Cho tứ diện Cho tứ diện $O.ABC$ có các cạnh $OA,OB,OC$ đôi một vuông góc ở $O$.

Chứng minh: $$S_{OAB}^{2}+S_{OBC}^{2}+S_{OCA}^{2}=S_{ABC}^{2}$$

 

Bài toán gốc: Cho tứ diện $O.ABC$ có các cạnh $OA,OB,OC$ đôi một vuông góc ở $O$. Các góc $\alpha \beta \gamma $ lần lượt là các góc tạo bởi mặt phẳng $(OAB),(OBC),(OCA)$ với mặt phẳng $(ABC)$. Chứng minh: $$cos^{2}\alpha+ cos^{2}\beta+ cos^{2}\gamma =1$$

[VODANH9X]

Bài toán: Cho tứ diện Cho tứ diện $O.ABC$ có các cạnh $OA,OB,OC$ đôi một vuông góc ở $O$.

Chứng minh: $$S_{OAB}^{2}+S_{OBC}^{2}+S_{OCA}^{2}=S_{ABC}^{2}$$

 

Bài toán gốc: Cho tứ diện $O.ABC$ có các cạnh $OA,OB,OC$ đôi một vuông góc ở $O$. Các góc $\alpha \beta \gamma $ lần lượt là các góc tạo bởi mặt phẳng $(OAB),(OBC),(OCA)$ với mặt phẳng $(ABC)$. Chứng minh: $$cos^{2}\alpha+ cos^{2}\beta+ cos^{2}\gamma =1$$

Mình không biết vẽ hình nên mình chỉ nói suông thôi nha bạn vẽ hình minh họa ra cũng dễ hiểu thôi.

Một hình chung 2 bài luôn.

Kí hiệu vuông góc mình không biết nên ghi tạm thế này   ''vg''

Kẻ OK vg BC.Ta có OA vg (OBC) $\Rightarrow $ OA vg BC

$\Rightarrow $ (OAK) vg BC $\Rightarrow $ AK vg BC

Kẻ OH vg AK $\Rightarrow $ OH vg BC $\Rightarrow $ OH vg (ABC)

OK vg BC,AK vg BC $\Rightarrow  \beta=\widehat{OKA}$

Tương tự kẻ OI vg AB,OJ vg AC thì $\alpha=\widehat{OIC},\gamma=\widehat{OJB}$

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông dễ dàng ta có

$\frac{1}{OA^{2}}+\frac{1}{OB^{2}}+\frac{1}{OC^{2}}=\frac{1}{OH^{2}}$ chứng minh thông qua OK

Ta chứng minh bài toán phụ trước 

Ta có $sin^{2}\beta =\frac{OH^{2}}{OK^{2}} $.Tương tự với OI,OJ

suy ra $sin^{2}\alpha+sin^{2}\beta+sin^{2}\gamma=OH^{2}(\frac{1}{OK^{2}}+\frac{1}{OI^{2}}+\frac{1}{OJ^{2}})$

Mặt khác $\frac{1}{OK^{2}}+\frac{1}{OI^{2}}+\frac{1}{OJ^{2}}=2(\frac{1}{OA^{2}}+\frac{1}{OB^{2}}+\frac{1}{OC^{2}})$

$\Rightarrow sin^{2}\alpha+sin^{2}\beta+sin^{2}\gamma=2 $

$\Rightarrow cos^{2}\alpha+cos^{2}\beta+cos^{2}\gamma=1$

Giải bài toán gốc 

Ta có $(\frac{S_{OBC}^{2}}{S_{ABC}^{2}})^{2}=(\frac{OK.BC}{AK.BC})^{2}=(\frac{OK}{AK})^{2}=cos^{2}\widehat{OKA}=cos^{2}\beta$

Tương tự ta có 

$(\frac{S_{OAB}^{2}}{S_{ABC}^{2}})^{2}+(\frac{S_{OBC}^{2}}{S_{ABC}^{2}})^{2}+(\frac{S_{OCA}^{2}}{S_{ABC}^{2}})^{2}$

$=cos^{2}\alpha+cos^{2}beta+cos^{2}\gamma=1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi VODANH9X: 12-08-2016 - 22:46