nguồn: fb
Trường hè toán học 2016 bài kiểm tra số 1
#1
Đã gửi 13-08-2016 - 00:30
- E. Galois, Zaraki, canhhoang30011999 và 7 người khác yêu thích
Họ cười tôi vì tôi khác họ
Tôi cười họ vì tôi mắc cười
#2
Đã gửi 13-08-2016 - 10:37
Câu 3:
Theo tính chất quen thuộc thì $E,F,Z$ thẳng hàng.
Gọi $T$ là điểm $Miquel$ của tứ giác toàn phần $BFECZA$, ta sẽ chứng minh $XYZT$ là tứ giác nội tiếp.
Dễ dàng chứng minh $M,H,T$ thẳng hàng, suy ra $MGTZ$ là tứ giác nội tiếp.
Mặt khác có $\widehat{TNY}=\widehat{TNK}=\widehat{TAK}=\widehat{TAH}=\widehat{TGH}=\widehat{TGY}$ nên tứ giác $TGNY$ là tứ giác nội tiếp.
Suy ra $T$ cũng là điểm $Miquel$ của tứ giác toàn phần $YZMNXG$ nên tứ giác $XYZT$ nội tiếp.
Để chỉ ra 2 đường tròn $(XYZT)$ và $(O)$ tiếp xúc tại $T$ ta chỉ cần chứng minh $\widehat{BTZ}=\widehat{TYZ}+\widehat{TAB}$ $(*)$
Mà $\widehat{TYZ}=\widehat{TNA}=\widehat{TBA}$ nên hiển nhiên $(*)$ đúng.
Vậy 2 đường tròn $(XYZ)$ và $(O)$ tiếp xúc nhau.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Nhat Tuan: 13-08-2016 - 10:47
- Zaraki, canhhoang30011999, Minh Hieu Hoang và 4 người khác yêu thích
#3
Đã gửi 13-08-2016 - 15:11
Bài 1:
Xét hàm số $f(x)=\frac{x+a}{1+ax}$.
Khi đó, $f'(x)=\frac{1+ax-a(x+a)}{(1+ax)^{2}}=\frac{1-a^{2}}{(1+ax)^{2}}<0$ $\forall \frac{1}{2}<a<1$.
Mặt khác, $x_{1}=\frac{a_{1}+x_{0}}{1+a_{1}x_{0}}=\frac{a_{1}+a_{0}}{1+a_{1}a_{0}}>a_{0}=x_{0}$ nên $(x_{n})$ là dãy tăng.
Và bằng qui nạp, ta chứng minh được $x_{n}<1$ $\forall n \geqslant 0$ nên dãy $(x_{n})$ hội tụ. Vì $(a_{n})$ là dãy bị chặn nên có thể trích ra một dãy con $(a_{n_{k}})$ hội tụ. Nếu ta xét dãy con $(x_{n_{k}})$ thì $\lim_{k\rightarrow \infty}x_{n_{k}}=\lim_{n\rightarrow\infty}x_{n}$. Giả sử $(x_{n_{k}})\rightarrow x$ và $(a_{n_{k}})\rightarrow a$. Ta sẽ có phương trình
$x=\frac{x+a}{1+ax}\Leftrightarrow x=1$ (do $a>0$ và $x>0$). Như vậy $\lim_{n\rightarrow \infty}x_{n}=1$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi minhrongcon2000: 13-08-2016 - 15:15
- Zaraki, canhhoang30011999, ineX và 1 người khác yêu thích
$\lim_{x \to \infty } Love =+\infty$
#4
Đã gửi 13-08-2016 - 15:31
Bài 2 : Dễ thấy nếu hàm $f(x)$ thỏa mãn thì hàm $f(x)-f(0)$ cũng thỏa mãn , không giảm tính tổng quát giả sử $f(0)=0$ , ta thấy $f(x+1)-f(x)$ là số hữu tỷ với mọi $x \in R$
Bổ đề : Hàm số liên tục $f$ mà nhận giá trị hữu tỷ với mọi $x$ thì đó là hàm hằng trên $R$ .
Chứng minh : Giả sử có $f(x)>f(z)$ suy ra tồn tại $y$ nằm giữa $f(x)>y>f(z)$ , theo định lý Bolzano tồn tại $\alpha$ mà $f(\alpha)=y$ trong đó $\alpha$ nằm giữa $x,z$ , hiển nhiên giữa hai số hữu tỷ có một số vô tỷ nên có thể giả sử $y$ vô tỷ , khi này vô lý vì $f(\alpha)=y$ vô tỷ . Vậy $f$ là hàm hằng trên $R$ .
Quay trở lại bài toán ta thấy $f(x+1)-f(x)$ phải là hàm hằng trên $R$ tức là $f(x+1)=f(x)+f(1)$ . Giờ với mọi $n$ nguyên ta có $f(n)=nf(1)$ . Với mọi $r \in Q$ đặt ta chứng minh được rằng với mọi số hữu tỷ $a$ thì $f(x+a)=f(x)+f(a)$ . Theo đó cũng có $f(r)=rf(1)$ . Giờ do $f$ liên tục nên với mọi $x$ tồn tại $(x_{n})$ mà $lim x_{n}=x$ với $x_{n} \in Q$ , nên $f(x) = lim f(x_{n}) = f(1) lim x_{n} = xf(1)$
Vậy tất cả các hàm số cần tìm là $ax+b$ với $a \in Q$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bangbang1412: 13-08-2016 - 15:33
- Zaraki, canhhoang30011999, Tran Nguyen Lan 1107 và 6 người khác yêu thích
$$[\Psi_f(\mathbb{1}_{X_{\eta}}) ] = \sum_{\varnothing \neq J} (-1)^{\left|J \right|-1} [\mathrm{M}_{X_{\sigma},c}^{\vee}(\widetilde{D}_J^{\circ} \times_k \mathbf{G}_{m,k}^{\left|J \right|-1})] \in K_0(\mathbf{SH}_{\mathfrak{M},ct}(X_{\sigma})).$$
#5
Đã gửi 13-08-2016 - 15:51
Bài 1:
Xét hàm số $f(x)=\frac{x+a}{1+ax}$.
Khi đó, $f'(x)=\frac{1+ax-a(x+a)}{(1+ax)^{2}}=\frac{1-a^{2}}{(1+ax)^{2}}<0$ $\forall \frac{1}{2}<a<1$.
Mặt khác, $x_{1}=\frac{a_{1}+x_{0}}{1+a_{1}x_{0}}=\frac{a_{1}+a_{0}}{1+a_{1}a_{0}}>a_{0}=x_{0}$ nên $(x_{n})$ là dãy tăng.
Và bằng qui nạp, ta chứng minh được $x_{n}<1$ $\forall n \geqslant 0$ nên dãy $(x_{n})$ hội tụ. Vì $(a_{n})$ là dãy bị chặn nên có thể trích ra một dãy con $(a_{n_{k}})$ hội tụ. Nếu ta xét dãy con $(x_{n_{k}})$ thì $\lim_{k\rightarrow \infty}x_{n_{k}}=\lim_{n\rightarrow\infty}x_{n}$. Giả sử $(x_{n_{k}})\rightarrow x$ và $(a_{n_{k}})\rightarrow a$. Ta sẽ có phương trình
$x=\frac{x+a}{1+ax}\Leftrightarrow x=1$ (do $a>0$ và $x>0$). Như vậy $\lim_{n\rightarrow \infty}x_{n}=1$
Bài này ko thể dùng pp xét hàm đc vì $a_n$ thay đổi
ta có $\frac{x_{n+1}-1}{x_{n+1}-1}=\frac{(x_{n}-1)(a_{n+1}-1)}{(x_{n}+1)(a_{n+1}+1)}$
nên $\frac{1-x_{n+1}}{1+x_{n+1}}=\prod_{i=0}^{n+1}\frac{1-a_{i}}{1+a_{i}}$
mà $0\leq \frac{1-a_i}{1+a_i}\leq \frac{1}{3}$
nên $0\leq \frac{1-x_{n+1}}{1+x_{n+1}}\leq \frac{1}{3^{n+1}}$
nên $lim x_{n}=1$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi canhhoang30011999: 13-08-2016 - 15:51
- Zaraki, bangbang1412, thinhrost1 và 7 người khác yêu thích
#6
Đã gửi 13-08-2016 - 18:27
Cột thứ $i$ chứa $10-i$ ô đỏ nên tổng số ô đỏ là $45$ không chia hết cho $10$.
- Zaraki, thinhrost1, canhhoang30011999 và 3 người khác yêu thích
For the love of Canidae
#7
Đã gửi 13-08-2016 - 21:10
4a)có. vì ở cột 1 có 4 ô tô đỏ cột 2 có 3, cột 3 có 2, cột 4 có 1 và cột 5 thì không có nên có tất cả 10 ô được tô màu nên nếu có cách xếp thỏa thì mỗi hàng sẽ có 2 ô tô đỏ nhưng vì ở hàng 1 những ô tô đỏ là 1,2,3,4 tương tự hàng 2,3,4,5 thì lần lượt các bộ sau được tô đỏ (3,4,5);(4,5),(5)và rỗng. nên nếu có các xếp thỏa thì những số chung 1 hàng phải khác nhau. Nhưng vì số 5 xuất hiện cả 4 lần nên phải xếp ở 4 hàng khác nhau, những số còn lại xếp vào ta thấy có 3 số 4 nên phải xếp ở 3 hàng khác nhau ( vị chi ta đã xếp được ít nhất 2 hàng có 2 ô tô màu, và còn 3 hàng nữa chưa xếp được 2ô) và 2 số 3 phải xếp ở 2 hàng khác nhau nên có thêm 2 hàng nữa có 2 ô. vị chi là có 4 hàng có 2 ô. bây giờ còn lại 1 số 2 cứ nhét vào hàng còn lại.
- Zaraki, canhhoang30011999, ineX và 2 người khác yêu thích
myfb : www.facebook.com/votiendung.0805
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~o0o~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
SỢ HÃI giúp ta tồn tại
NGHỊ LỰC giúp ta đứng vững
KHÁT VỌNG giúp ta tiến về phía trước
Võ Tiến Dũng
#8
Đã gửi 15-08-2016 - 21:52
4a)có. vì ở cột 1 có 4 ô tô đỏ cột 2 có 3, cột 3 có 2, cột 4 có 1 và cột 5 thì không có nên có tất cả 10 ô được tô màu nên nếu có cách xếp thỏa thì mỗi hàng sẽ có 2 ô tô đỏ nhưng vì ở hàng 1 những ô tô đỏ là 1,2,3,4 tương tự hàng 2,3,4,5 thì lần lượt các bộ sau được tô đỏ (3,4,5);(4,5),(5)và rỗng. nên nếu có các xếp thỏa thì những số chung 1 hàng phải khác nhau. Nhưng vì số 5 xuất hiện cả 4 lần nên phải xếp ở 4 hàng khác nhau, những số còn lại xếp vào ta thấy có 3 số 4 nên phải xếp ở 3 hàng khác nhau ( vị chi ta đã xếp được ít nhất 2 hàng có 2 ô tô màu, và còn 3 hàng nữa chưa xếp được 2ô) và 2 số 3 phải xếp ở 2 hàng khác nhau nên có thêm 2 hàng nữa có 2 ô. vị chi là có 4 hàng có 2 ô. bây giờ còn lại 1 số 2 cứ nhét vào hàng còn lại.
cái câu trả lời này hình như vẫn còn chưa chặt chẽ thì phải
- canhhoang30011999 yêu thích
myfb : www.facebook.com/votiendung.0805
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~o0o~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
SỢ HÃI giúp ta tồn tại
NGHỊ LỰC giúp ta đứng vững
KHÁT VỌNG giúp ta tiến về phía trước
Võ Tiến Dũng
#9
Đã gửi 22-08-2016 - 13:16
5a) Có. Ta xét bảng 5x5 sau:
1 3 5 2 4
2 1 4 3 5
3 5 1 4 2
4 2 3 5 1
5 4 2 1 3
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh