Tìm $p,q,n$ thỏa $p,q$ là số nguyên tố ,$n$ là số nguyên dương chẵn và $p^n+p^{n-1}+p^{n-2}+...+p+1=q^2+q+1$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tpdtthltvp: 13-08-2016 - 10:48
Tìm $p,q,n$ thỏa $p,q$ là số nguyên tố ,$n$ là số nguyên dương chẵn và $p^n+p^{n-1}+p^{n-2}+...+p+1=q^2+q+1$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tpdtthltvp: 13-08-2016 - 10:48
Tìm $p,q,n$ thỏa $p,q$ là số nguyên tố ,$n$ là số nguyên dương chẵn và $p^n+p^{n-1}+p^{n-2}+...+p+1=q^2+q+1$
$PT\iff p(p^{n-1}+p^{n-2}+...+p+1)=q(q+1)$ $(*)$
$TH1: p\mid q \implies \left\{\begin{matrix} p=q\\ p^{n-1}+p^{n-2}+...+p+1=q+1\end{matrix}\right.\iff \frac{p^n-1}{p-1}=p+1$
$\iff p^n-1=p^2-1\iff n=2\implies (p,q,n)=(r,r,2)$ với $r$ là số nguyên tố
$TH2: \left\{\begin{matrix} p\mid q+1\\q\mid p^{n-1}+p^{n-2}+...+p+1\end{matrix}\right.$
Khi đó đặt $\frac{p^n-1}{p-1}=tq$ và $\frac{q+1}{p}=k$
Dễ dàng biến đổi $(*)$ thành $p^2(k^2-kt)-p(k^2+k-t-tk)+k-t=0\implies \Delta=(k-t)^2(k-1)^2$
$\implies p=\frac{(k+1)(k-1)\pm (k-t)(k-1)}{2k(k-t)}=\frac{(k+1)\pm (k-1)}{2k}$ kéo theo $p=1$ (vô lí)
Vậy $ (p,q,n)=(r,r,2)$ với $r$ là số nguyên tố
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Minhnguyenthe333: 16-08-2016 - 19:39
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh