Đến nội dung

Hình ảnh

Tìm $p,q,n$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
nh0znoisung

nh0znoisung

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 20 Bài viết

Tìm $p,q,n$ thỏa $p,q$ là số nguyên tố ,$n$ là số nguyên dương chẵn và  $p^n+p^{n-1}+p^{n-2}+...+p+1=q^2+q+1$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tpdtthltvp: 13-08-2016 - 10:48


#2
Minhnguyenthe333

Minhnguyenthe333

    Trung úy

  • Thành viên
  • 804 Bài viết

Tìm $p,q,n$ thỏa $p,q$ là số nguyên tố ,$n$ là số nguyên dương chẵn và $p^n+p^{n-1}+p^{n-2}+...+p+1=q^2+q+1$

$PT\iff p(p^{n-1}+p^{n-2}+...+p+1)=q(q+1)$ $(*)$

$TH1: p\mid q \implies \left\{\begin{matrix} p=q\\ p^{n-1}+p^{n-2}+...+p+1=q+1\end{matrix}\right.\iff \frac{p^n-1}{p-1}=p+1$

$\iff p^n-1=p^2-1\iff n=2\implies (p,q,n)=(r,r,2)$ với $r$ là số nguyên tố

$TH2: \left\{\begin{matrix} p\mid q+1\\q\mid p^{n-1}+p^{n-2}+...+p+1\end{matrix}\right.$

 

Khi đó đặt $\frac{p^n-1}{p-1}=tq$ và $\frac{q+1}{p}=k$

 

Dễ dàng biến đổi $(*)$ thành $p^2(k^2-kt)-p(k^2+k-t-tk)+k-t=0\implies \Delta=(k-t)^2(k-1)^2$

 

$\implies p=\frac{(k+1)(k-1)\pm (k-t)(k-1)}{2k(k-t)}=\frac{(k+1)\pm (k-1)}{2k}$ kéo theo $p=1$ (vô lí)

 

Vậy $ (p,q,n)=(r,r,2)$ với $r$ là số nguyên tố


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Minhnguyenthe333: 16-08-2016 - 19:39





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh