Chủ đề này có 4 trả lời

[moonkey01]

Tìm tất cả các hàm $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thoả mãn điều kiện:

 

$f(x-f(y))=3f(x)-2x-f(y) \forall x,y\in \mathbb{R}$

[bangbang1412]

Dễ thấy hàm $f(u)-3f(v)$ đi qua toàn bộ tập $R$ , kí hiệu $P(u,v)$ bởi phép thế $(x,y) \to (u,v)$ , đặt $f(0)=3a$

$$P(f(y),y) => a=f(f(y))-f(y)$$

$$P(f(x),y)=>f(f(x)-f(y))=3f(f(x))-2f(x)-f(y)=3a+3f(x)-2f(x)-f(y)=f(x)-f(y)+3a$$

$$P(f(x)-f(y),y)=>f(f(x)-2f(y))=f(f(x)-f(y)-f(y))=3f(f(x)-f(y))-2(f(x)-f(y))-f(y)=3(f(x)-f(y))+9a-2(f(x)-f(y))-f(y))=f(x)-2f(y)+9a$$

$$P(f(x)-2(y),y)=>f(f(x)-3f(y))=f(f(x)-2f(y)-f(y)=3f(f(x)-2f(y))-2f(f(x)-2f(y))-f(y)=3(f(x)-2f(y))+27a-2(f(x)-2f(y))-f(y)=f(x)-3f(y)+27a$$

$$P(u,v)=>f(x)=x+27a$$

Thử lại có $f(x) \equiv x$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bangbang1412: 13-08-2016 - 18:09

[lmht]

Dễ thấy hàm $f(u)-3f(v)$ đi qua toàn bộ tập $R$ , kí hiệu $P(u,v)$ bởi phép thế $(x,y) \to (u,v)$ , đặt $f(0)=3a$

$$P(f(y),y) => a=f(f(y))-f(y)$$

$$P(f(x),y)=>f(f(x)-f(y))=3f(f(x))-2f(x)-f(y)=3a+3f(x)-2f(x)-f(y)=f(x)-f(y)+3a$$

$$P(f(x)-f(y),y)=>f(f(x)-2f(y))=f(f(x)-f(y)-f(y))=3f(f(x)-f(y))-2(f(x)-f(y))-f(y)=3(f(x)-f(y))+9a-2(f(x)-f(y))-f(y))=f(x)-2f(y)+9a$$

$$P(f(x)-2(y),y)=>f(f(x)-3f(y))=f(f(x)-2f(y)-f(y)=3f(f(x)-2f(y))-2f(f(x)-2f(y))-f(y)=3(f(x)-2f(y))+27a-2(f(x)-2f(y))-f(y)=f(x)-3f(y)+27a$$

$$P(u,v)=>f(x)=x+27a$$

Thử lại có $f(x) \equiv x$

Bạn có thể giải thích tại sao hàm $f(u)-3f(v)$ đi qua toàn bộ tập R được không ?

[bangbang1412]

Bạn có thể giải thích tại sao hàm $f(u)-3f(v)$ đi qua toàn bộ tập R được không ?

Ban đầu có $f(x-f(y))-3f(x)=-2x-f(y)$ , vế phải là một toàn ánh nên $f(x-f(y))-3f(x)$ cũng toàn ánh

[minhrongcon2000]

Tìm tất cả các hàm $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thoả mãn điều kiện:

 

$f(x-f(y))=3f(x)-2x-f(y) \forall x,y\in \mathbb{R}$

Ta đặt $g(x)=f(x)-x$.

Ta sẽ có $g(x-f(y))=3g(x)$. Do đó, $g(x-3f(y))=27g(x)$. 

Mặt khác, $f(x-f(y))-3f(x)=-2x-f(y)$ nên $f$ toàn ánh và $\forall x\in\mathbb{R},\exists u,v\in\mathbb{R}:x=f(u)-3f(v)$.

Nói một cách khác, do $x-y\in\mathbb{R}$ nên $\exists u,v: x-y=f(u)-3f(v)\Rightarrow x-f(u)=y-3f(v)\Rightarrow 3g(x)=g(x-f(u))=g(y-3f(v))=27g(y)\Rightarrow g(x)=9g(y)$. Hoán đổi x,y ta cũng có $g(y)=9g(x)$ nên $g(x)=g(y)\forall x,y\in\mathbb{R}$ nên $g$ là hàm hằng. Từ đó ta có $f(x)=x+c$ với $c$ là hằng số thực. Thử lại, ta có $f(x)=x$ thỏa đề.