Chủ đề này có 2 trả lời

[lethanhson2703]

Tính tổng $S= 1^2 . C^1 _n + 2^2.C^2_n+3^2.C^2_n+...+ n^2.C^n _n$

[L Lawliet]

Tính tổng $S= 1^2 . C^1 _n + 2^2.C^2_n+3^2.C^2_n+...+ n^2.C^n _n$

 

Lời giải.

Ta có:

$\left ( 1+x \right )^{n}=C^{0}_{n}+C^{1}_{n}x+C^{2}_{n}x^{2}+...+C^{n}_{n}x^{n}$

Đạo hàm hai vế ta được:

$n\left ( 1+x \right )^{n-1}=C^{1}_{n}+2xC^{2}_{n}+...+nx^{n-1}C^{n}_{n}$

Nhân hai vế với $2$ rồi đạo hàm một lần nữa ta được:

$n\left ( 1+x \right )^{n-1}+n\left ( n-1 \right )x\left ( 1+x \right )^{n-2}=C^{1}_{n}+2^{2}xC^{2}_{n}+...+n^{2}x^{n-1}C^{n}_{n}$

Thay $x=1$ ta được:

$2^{n-1}n+n\left ( n-1 \right )2^{n-2}=A$

[huykinhcan99]

Ta có:

\begin{align*} S&=\sum^n_{k=1} k^2C^k_n \\&=\sum^n_{k=1} \left[k(k-1)+k\right]C^k_n \\ &=\sum^n_{k=2} k(k-1)C^k_n+\sum^n_{k=1} kC^k_n \end{align*}

 

Lại có

\begin{align*}\sum^n_{k=2} k(k-1) C^k_n &= \sum^n_{k=2} k(k-1) \dfrac{n!}{k!(n-k)!} \\&=\sum^n_{k=2} n(n-1).\dfrac{(n-2)!}{(k-2)!(n-k)!} \\&=n(n-1)\sum^n_{k=2}C^{k-2}_{n-2} =n(n-1)\sum^n_{k=0}C^{k}_{n-2} \\ &=n(n-1)(1+1)^{n-2}=n(n-1).2^{n-2}\end{align*}

 

Mặt khác

\begin{align*} \sum^n_{k=1} k C^k_n &=\sum^n_{k=1} k.\dfrac{n!}{k!(n-k)!} \\ &=\sum^n_{k=1} n.\dfrac{(n-1)!}{(k-1)!(n-k)!} \\ &=n\sum^n_{k=1}C^{k-1}_{n-1} =n\sum^n_{k=0}C^{k}_{n-1}\\ &=n(1+1)^{n-1} =n.2^{n-1}\end{align*}

 

Do đó

$$S=n(n-1).2^{n-2}+n.2^{n-1}=n(n+1).2^{n-2}$$