Chủ đề này có 3 trả lời

[kinggriffin1]

CMR: $(1-cosA)(1-cosB)(1-cosC)\geq cosAcosBcosC$
với mọi tam giác ABC

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi kinggriffin1: 15-08-2016 - 15:29

[Dark Repulsor]

CMR: $(1-cosA)(1-cosB)(1-cosC)\geq cosAcosBcosC$
với mọi tam giác ABC

đpcm $\Leftrightarrow \prod (2sin^2\frac{A}{2})\geq\prod cosA$

          $\Leftrightarrow \prod\frac{2sin^2\frac{A}{2}}{sin\frac{A}{2}}\geq\prod cotA$

          $\Leftrightarrow \prod tan\frac{A}{2}\geq\prod cotA$

          $\Leftrightarrow \prod cot\frac{A}{2}\leq\prod tanA$

          $\Leftrightarrow \sum tanA\geq\sum cot\frac{A}{2}$

Ta có: $tanA+tanB=\frac{sin(A+B)}{cosAcosB}=\frac{2sin(A+B)}{cos(A+B)cos(A-B)}\geq\frac{2sinC}{1-cosC}=\frac{2.2sin\frac{C}{2}cos\frac{C}{2}}{2sin^2\frac{C}{2}}=2cot\frac{C}{2}\Rightarrow$ đpcm

[kinggriffin1]

đpcm $\Leftrightarrow \prod (2sin^2\frac{A}{2})\geq\prod cosA$

          $\Leftrightarrow \prod\frac{2sin^2\frac{A}{2}}{sin\frac{A}{2}}\geq\prod cotA$

          $\Leftrightarrow \prod tan\frac{A}{2}\geq\prod cotA$

          $\Leftrightarrow \prod cot\frac{A}{2}\leq\prod tanA$

          $\Leftrightarrow \sum tanA\geq\sum cot\frac{A}{2}$

Ta có: $tanA+tanB=\frac{sin(A+B)}{cosAcosB}=\frac{2sin(A+B)}{cos(A+B)cos(A-B)}\geq\frac{2sinC}{1-cosC}=\frac{2.2sin\frac{C}{2}cos\frac{C}{2}}{2sin^2\frac{C}{2}}=2cot\frac{C}{2}\Rightarrow$ đpcm

Dấu tương đương thứ 5, từ tích thành tổng, không hiểu lắm

[Dark Repulsor]

Dấu tương đương thứ 5, từ tích thành tổng, không hiểu lắm

Vì: $tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC$

     $cot\frac{A}{2}+cot\frac{B}{2}+cot\frac{C}{2}=cot\frac{A}{2}cot\frac{B}{2}cot\frac{C}{2}$