Chủ đề này có 2 trả lời

[chichi010402]

Câu 1 :Cho a,b,c thỏa mãn : $a+b+c=2$

CMR:$(a+b-ab)(b+c-bc)(c+a-ca)\leqslant 1-abc$

Câu 2:Cho $a,b,c   \epsilon N$ thỏa mãn:$a^{2}+b^{2}=c^{2}\left ( 1+ab \right )$

CMR:$a\geqslant c$  và   $b\geqslant c$

Câu 3:Cho a,b,c thỏa mãn:  $a+b+c\geqslant abc$

CMR ít nhất hai trong số các bất đẳng thức sau đúng:

$\frac{2}{a}+\frac{3}{b}+\frac{6}{c}\geqslant 6; \frac{2}{b}+\frac{3}{c}+\frac{6}{a}\geqslant 6; \frac{2}{c}+\frac{3}{a}+\frac{6}{b}\geqslant 6$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ngoc Hung: 16-08-2016 - 16:02

[rfiyms]

Câu 1 :Cho a,b,c thỏa mãn : $a+b+c=2$

CMR:$(a+b-ab)(b+c-bc)(c+a-ca)\leqslant 1-abc$

Dấu bằng của bài toán xảy ra khi $a=b=1$ và $c=0$ hoặc các hoán vị chứ không phải xảy ra khi $a=b=c$.

Đặt $a=1-x$, $b=1-y$, $c=1-z$ thì $x+y+z=1$ (vì $a+b+c=2$).

Khi đó:

$$a+b-ab=2-x-y-\left ( 1-x \right )\left ( 1-y \right )=1-xy$$

Tương tự ta được $b+c-bc=1-yz$ và $c+a-ca=1-zx$.

Khi đó bất đẳng thức cần chứng minh trở thành:

$$\left ( 1-xy \right )\left ( 1-yz \right )\left ( 1-zx \right )\leq 1-\left ( 1-x \right )\left ( 1-y \right )\left ( 1-z \right )$$

$$\Leftrightarrow x^{2}y^{2}z^{2}-xyz\left ( x+y+z \right )+x+y+z-1\geq 0$$

$$\Leftrightarrow x^{2}y^{2}z^{2}\geq 1$$

Dấu bằng xảy ra khi $a=b=1$ và $c=0$ hoặc các hoán vị.

 

Cách khác là với bất đẳng thức dạng này cậu có thể xài phương pháp $\text{p, q, r}$. Khi đó từ giả thuyết $a+b+c=2$ bất đẳng thức cần chứng minh trở thành:

$$\left ( ab+bc+ca-abc-1 \right )^{2}\geq 0$$

Bất đẳng thức trên luôn đúng.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi rfiyms: 16-08-2016 - 18:31

[chichi010402]

 

Dấu bằng của bài toán xảy ra khi $a=b=1$ và $c=0$ hoặc các hoán vị chứ không phải xảy ra khi $a=b=c$.

Đặt $a=1-x$, $b=1-y$, $c=1-z$ thì $x+y+z=1$ (vì $a+b+c=2$).

Khi đó:

$$a+b-ab=2-x-y-\left ( 1-x \right )\left ( 1-y \right )=1-xy$$

Tương tự ta được $b+c-bc=1-yz$ và $c+a-ca=1-zx$.

Khi đó bất đẳng thức cần chứng minh trở thành:

$$\left ( 1-xy \right )\left ( 1-yz \right )\left ( 1-zx \right )\leq 1-\left ( 1-x \right )\left ( 1-y \right )\left ( 1-z \right )$$

$$\Leftrightarrow x^{2}y^{2}z^{2}-xyz\left ( x+y+z \right )+x+y+z-1\geq 0$$

$$\Leftrightarrow xyz\geq 1$$

Vì $x+y+z=1$ nên bất đẳng thức trên luôn đúng, dẫn đến bất đẳng thức ban đầu đúng.

Dấu bằng xảy ra khi $a=b=1$ và $c=0$ hoặc các hoán vị.

 

Cách khác là với bất đẳng thức dạng này cậu có thể xài phương pháp $\text{p, q, r}$. Khi đó từ giả thuyết $a+b+c=2$ bất đẳng thức cần chứng minh trở thành:

$$\left ( ab+bc+ca-abc-1 \right )^{2}\geq 0$$

Bất đẳng thức trên luôn đúng.

 

Cảm ơn bạn nhưng ở chỗ này hình như bạn nhầm

$\left ( 1-xy \right )\left ( 1-yz \right )\left ( 1-zx \right )\leqslant 1-(1-x)(1-y)(1-z) <=>xyz\geqslant 1$

Phải là:$\left ( 1-xy \right )\left ( 1-yz \right )\left ( 1-zx \right )\leqslant 1-\left ( 1-x \right )\left ( 1-y \right )\left ( 1-z \right ) <=>(xyz)^{2}\geqslant 0$ (hiển nhiên)

Từ đây suy ra dấu bằng xảy ra khi nào

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chichi010402: 16-08-2016 - 17:00