Chủ đề này có 1 trả lời

[phamhuy1801]

Một "câu chuyện vô hạn“ là một câu chuyện được viết trong một cuốn sách mà có bắt đầu chứ không có kết thúc. Các trang của cuốn sách được đánh số 1,2,3,...

Một tác giả muốn viết một câu chuyện vô hạn, mà ở đó trong mỗi trang một người lùn mới được giới thiệu. Những người lùn này thực hiện trên trang giấy một hoặc nhiều cuộc hội thoại, mỗi cuộc hội thoại có ít nhất hai người lùn (đã được giới thiệu) tham gia (gọi là một nhóm hội thoại). Số lượng các cuộc hội thoại trong một trang sách không bị giới hạn. Để cho cuốn sách thêm thú vị, nhà xuất bản yêu cầu tác giả phải thực hiện được yêu cầu sau: Mỗi tập vô hạn các người lùn đều chứa một nhóm (ít nhất có hai người lùn) mà ở một thời điểm nào đó là một nhóm hội thoại, và chứa một nhóm có cùng số lượng người lùn mà không có bất kỳ thời điểm nào là một nhóm hội thoại.

Hỏi tác giả có thể thực hiện được yêu cầu của nhà xuất bản không?

(German MO 2010 class 12-13 round 4)

[redfox]

Bài này giống imo 1994.
Gán cho người thứ $i$ số nguyên tố $p_i$. Xét các cuộc đối thoại có số lượng người lớn hơn số thứ tự nhỏ nhất của cho mọi người trong đó (có thể coi số lượng người hội thoại là 1, nghĩa là giới thiệu người mới). Sắp xếp các cuộc hội thoại sao cho tích các số của mọi người tăng dần. Xếp các cuộc hội thoại vào các trang giấy, trang giấy nào xuất hiện một người mới thì ta chuyển sang trang khác.
Ta có không có $2$ người được giới thiệu cùng lúc (trái với cách sắp xếp). Với nhóm vô hạn người nào đó, sắp xếp họ theo thứ tự tăng dần, gọi $i$ là số thứ tự nhỏ nhất lớn hơn 1. Chọn $i$ người đầu tiên sẽ không thuộc cuộc đối thoại nào, $i$ người tiếp theo sẽ thuộc một cuộc đối thoại nào đó.