Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

$f\left ( f\left ( x \right )+y \right )=f\left ( x+y \right )+xf(y)-xy-x+1$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1 Senju Hashirama

Senju Hashirama

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 69 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Inequality , Functional equations ,
    Polynomial , Naruto

Đã gửi 16-08-2016 - 22:09

Tim tất cả các hàm $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ , thỏa mãn 

 $f\left ( f\left ( x \right )+y \right )=f\left ( x+y \right )+xf(y)-xy-x+1$



#2 hoangtubatu955

hoangtubatu955

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 431 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Khoa Toán, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên
  • Sở thích:Combinatorics, Graph Theory, Number Theory.
    Incidences, Sum-product problem.

Đã gửi 08-10-2020 - 22:38

Tim tất cả các hàm $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ , thỏa mãn 

 $f\left ( f\left ( x \right )+y \right )=f\left ( x+y \right )+xf(y)-xy-x+1$

 

Từ giả thiết, thay $y = 0$ ta thu được 

                                  $ f(f(x)) = f(x) + xf(0) - x + 1.$$    (1) 

Tiếp tục thay $y$ bởi $f(y)$ và sử dụng (1) ta thu được 

                        $f(f(x)+f(y)) = f(x+f(y)) + xf(f(y)) - xf(y) - x + 1$ 

                                                 $= \left[ f(x+y) + yf(x) - xy - y + 1 \right]  + x\left( f(y)+yf(0) - y + 1\right) - x + 1$  (theo giả thiết và (1))

                                                 $=  f(x+y) + xy (f(0) - 2) - (x+y) + 2 + yf(x).$

Từ trên, đổi vai trò của $x$ và $y$ ta thu được  $xf(y) = yf(x).$

Do đó   $f(x) = ax$ với mọi $x \in \mathbb{R}.$

Thay lại vào giả thiết ta tìm được $a = 1.$

Vậy $f(x) = x.$






0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh