Đến nội dung

Hình ảnh

$\left\{\begin{matrix}x^2+xy+y^2=3y-1 & & \\ x^3+x^2y=x^2-x+1 & & \end{matrix}\right.$

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
grigoriperelmanlapdi

grigoriperelmanlapdi

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 117 Bài viết

Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix}x^2+xy+y^2=3y-1 & & \\ x^3+x^2y=x^2-x+1 & & \end{matrix}\right.$



#2
killerdark68

killerdark68

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 266 Bài viết

Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix}x^2+xy+y^2=3y-1 & & \\ x^3+x^2y=x^2-x+1 & & \end{matrix}\right.$

Lấy pt(1)- pt(2)$\Leftrightarrow (2-y-x)(x^2+1-y)=0$...



#3
L Lawliet

L Lawliet

    Tiểu Linh

  • Thành viên
  • 1624 Bài viết

Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix}x^2+xy+y^2=3y-1 & & \\ x^3+x^2y=x^2-x+1 & & \end{matrix}\right.$

Dạo quanh box phương trình, hệ phương trình thấy bài này :D

Không thấy bạn thắc mắc về việc tại sao lại lấy $\left ( 1 \right )-\left ( 2 \right )$ nhỉ, mình xin phép giải thích về ý tưởng cũng như cách giải cho một số hệ dạng này nhe :D

----

Phương pháp giải những hệ loại này gọi là phương pháp hệ số bất định.

Vậy mục đích nhân hai vế của phương trình thứ hai với $-1$ là gì? Ở đây ta quan sát thấy bậc của $x$ cao nhất là $3$ còn của $y$ là $2$ nên ta sẽ nghĩ đến việc giữ nguyên hệ số của phương trình thứ nhất và nhân hai vế của phương trình thứ hai với một số $k$ nào đó sao cho ta thu được một phương trình bậc hai ẩn $y$ và phương trình bậc hai này có delta là số chính phương.

Ta nháp như sau:

$$\left ( x^{2}+xy+y^{2}-3y+1 \right )+k\left ( x^{3}+x^{2}y-x^{2}+x-1 \right )=0$$

$$\Leftrightarrow y^{2}+\left ( kx^{2}+x-3 \right )y+kx^{3}+\left ( 1-k \right )x^{2}+kx+1-k=0$$
Xem đây là phương trình bậc hai ẩn $y$, tham số $x$ xét delta:
\begin{align*} \Delta  &= \left ( kx^{2}+x-3 \right )^{2}-4\left [ kx^{3}+\left ( 1-k \right )x^{2}+kx+1-k \right ] \\ &= k^{2}x^{4}-2kx^{3}-2kx^{2}-\left ( 4k+6 \right )x+4k+5 \end{align*}
Ta cần một delta có dạng như sau:
$$\Delta =\left ( ax^{2}+bx+c \right )^{2}$$
Hay:
$$k^{2}x^{4}-2kx^{3}-2kx^{2}-\left ( 4k+6 \right )x+4k+5=\left ( ax^{2}+bx+c \right )^{2}$$
Dễ thấy $a=k$, sau khi khai triển và đồng nhất hệ số ta được hệ:
$$\left\{\begin{matrix} a=k \\ 2ca+b^{2}=-2k \\ 2bc=-4k-6 \\ c^{2}=4k+5 \end{matrix}\right.$$
$$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a=k=-1 \\ b=-1 \\ c=1 \end{matrix}\right.$$
Do vậy ta được lời giải lấy phương trình thứ nhất trừ phương trình thứ hai vế theo vế ta được:
$$y^{2}-\left ( x^{2}-x+3 \right )y-x^{3}+2x^{2}+2=0$$
Phương trình này có delta là:
$$\Delta =\left ( x^{2}+x-1 \right )^{2}$$
Do đó việc phân tích thành nhân tử là dễ dàng.
----
Một số loại hệ khác dạng này nhưng hệ chứa $x$ và $y$ cùng bậc (cùng bậc $3$, $4$,...) nhưng không chứa hạng tử $xy$ thì ta cũng thực hiện tương tự nhưng mục đích là để có nhân tử $\left ( x-a \right )^{k}=\left ( y-b \right )^{k}$ ($k$ là bậc ban đầu cao nhất của $x$, $y$ trong hệ).
Hệ chứa $x$, $y$ cùng bậc nhưng chứa hạng tử $xy$ thì ta cần nhân tử $\left ( ax+by \right )$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi L Lawliet: 24-08-2016 - 15:10

Thích ngủ.





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh