Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh
- - - - -

$\left\{\begin{matrix}x^2+y^2+xy+2x=7y & & \\ x^3+x^2y-x^2+2xy-6x+3y=0 & & \end{matrix}\right.$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 5 trả lời

#1 eminemdech

eminemdech

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 80 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THCS Chuyên Việt Nam
  • Sở thích:Làm toán

Đã gửi 17-08-2016 - 14:36

GIải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix}x^2+y^2+xy+2x=7y & & \\ x^3+x^2y-x^2+2xy-6x+3y=0 & & \end{matrix}\right.$



#2 Baoriven

Baoriven

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1242 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:$\boxed{\textrm{CTG}}$ $\boxed{\textrm{~1518~}}$
  • Sở thích:$\mathfrak{MATHS}$

Đã gửi 17-08-2016 - 19:07

Xin trình bày pp chữa cháy. Thế $y=\frac{-x^3+x^2+6x}{x^2+2x+3}$, ta được: 

$(x^3+2x^2+3x)^2+(x^3-x^2-6x)^2-(x-7)(x^2+2x+3)(x^3-x^2-6x)+2x(x^2+2x+3)^2=0$

$\Leftrightarrow x=0;x=-2;x=\frac{1}{2}(-4-\sqrt{7}\pm \sqrt{5(7+4\sqrt{7})})$.


$\mathfrak{LeHoangBao - 4M - CTG1518}$

#3 An Infinitesimal

An Infinitesimal

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1811 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:cù lao
  • Sở thích:~.*

Đã gửi 17-08-2016 - 22:36

GIải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix}x^2+y^2+xy+2x=7y & & \\ x^3+x^2y-x^2+2xy-6x+3y=0 & & \end{matrix}\right.$

 

Góp thêm chút "sắc màu":

Trường hợp 1: $x=0$:  Hệ chỉ có nghiệm $ (0;0). $
 
Trường hợp2:  $x\neq 0$:  
 
$ PT2:=PT2\times x+PT1:  $
$\left\{\begin{matrix}x^2+y^2+xy+2x=7y & & \\ - 3x^2 - xy^2 + 9xy - 6x + 3y=0 & & \end{matrix}\right.$
 
$ PT1:=PT1\times 3+PT2:  $
$\left\{\begin{matrix}y(12x + 3y - xy - 18)=0& & \\ - 3x^2 - xy^2 + 9xy - 6x + 3y=0  & & \end{matrix}\right.$
 
 
Trường hợp 2.1: $ y=0 $. Hệ chỉ có nghiệm $ (-2;0) $.
 
Trường hợp 2.2:  $ y\neq 0 $. 
Hệ trở thành (sử dụng phương trình hệ đầu tiên)
 
$\left\{\begin{matrix}x^2+y^2+xy+2x=7y & & \\ 12x + 3y - xy - 18=0 & & \end{matrix}\right.$
\[\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x^2+y^2+14x-4y=18, & & \\ 12x + 3y - xy - 18=0. & & \end{matrix}\right.\]
 
Đặt $ u= x+7, v=y-2 $, ta có hệ đối xứng sau
\[\left\{\begin{matrix}10u + 10v - uv = 82, & & \\ u^2 + v^2 = 71=0. & & \end{matrix}\right.\]
(Xin dừng vẻ vời ở đây!)

Đời người là một hành trình...


#4 L Lawliet

L Lawliet

    Tiểu Linh

  • Thành viên
  • 1624 Bài viết
  • Giới tính:Nữ

Đã gửi 18-08-2016 - 10:14

Đặt $ u= x+7, v=y-2 $, ta có hệ đối xứng sau

\[\left\{\begin{matrix}10u + 10v - uv = 82, & & \\ u^2 + v^2 = 71=0. & & \end{matrix}\right.\]
(Xin dừng vẻ vời ở đây!)

Bạn chỉ cho mình biết ý tưởng ở đoạn này với được không, bình thường đến đây mình toàn rút thế (và hay bí luôn) nhưng đặt ra được hệ đối xứng vậy đẹp quá :((


Thích ngủ.


#5 An Infinitesimal

An Infinitesimal

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1811 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:cù lao
  • Sở thích:~.*

Đã gửi 18-08-2016 - 13:36

 

Góp thêm chút "sắc màu":

Trường hợp 1: $x=0$:  Hệ chỉ có nghiệm $ (0;0). $
 
Trường hợp2:  $x\neq 0$:  
 
$ PT2:=PT2\times x+PT1:  $
$\left\{\begin{matrix}x^2+y^2+xy+2x=7y & & \\ - 3x^2 - xy^2 + 9xy - 6x + 3y=0 & & \end{matrix}\right.$
 
$ PT1:=PT1\times 3+PT2:  $
$\left\{\begin{matrix}y(12x + 3y - xy - 18)=0& & \\ - 3x^2 - xy^2 + 9xy - 6x + 3y=0  & & \end{matrix}\right.$
 
 
Trường hợp 2.1: $ y=0 $. Hệ chỉ có nghiệm $ (-2;0) $.
 
Trường hợp 2.2:  $ y\neq 0 $. 
Hệ trở thành (sử dụng phương trình hệ đầu tiên)
 
$\left\{\begin{matrix}x^2+y^2+xy+2x=7y & & \\ 12x + 3y - xy - 18=0 & & \end{matrix}\right.$
\[\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x^2+y^2+14x-4y=18, & & \\ 12x + 3y - xy - 18=0. & & \end{matrix}\right.\]
 
Đặt $ u= x+7, v=y-2 $, ta có hệ đối xứng sau
\[\left\{\begin{matrix}10u + 10v - uv = 82, & & \\ u^2 + v^2 = 71=0. & & \end{matrix}\right.\]
(Xin dừng vẻ vời ở đây!)

 

 

 

Bạn chỉ cho mình biết ý tưởng ở đoạn này với được không, bình thường đến đây mình toàn rút thế (và hay bí luôn) nhưng đặt ra được hệ đối xứng vậy đẹp quá :((

 

Hồi xưa, mình không được thi OLP vì bối rối với bài loại này. Trong lớp, hầu hết không giải được... và chỉ một bạn giải bằng phương pháp thế.

 

(Thêm một chút thông tin chứ không có được ý tưởng tốt.)

Kỹ thuật đặt: chỉ chú ý vào phương trình thứ nhất, đặt sao cho "thành phần bậc nhất" của $x$ và $y$ mất đi. Sau khi đổi biến,  ở phương trình bậc nhất "chỉ còn" số hạng bậc hai.

Phần còn lại, phương trình thứ 2, do ảnh hưởng của phép đổi biến đã đề cập.

 

Việc qui về hệ đối xứng được hay không là còn tùy thuộc vào "đặc điểm" của hệ.

 

Xét hệ 

 

$$\left\{\begin{matrix}x^2+y^2+2ax+2by=c, & & \\ dx + ey +fxy =g, & & \end{matrix}\right.$$

trong đó $a, b, c, d, e, f, g$ là các số thực cho trước.

 

Đặt $u=x+a, v=y+b,$ ta có hệ

 

 
$\left\{\begin{matrix}u^2+v^2=c+a^2+b^2 & & \\ (d - bf)u + (e - af)u +fuv =g + ad + be - abf. & & \end{matrix}\right.$
 
 

Phép đổi biến trên dẫn về hệ phương trình đối xứng đối với $u, v$ khi và chỉ khi $d-e=(b-a)f.$

 

Bài toán trên có các dữ liệu: $a=7, b=-2, d=12, e=3, f=-1$. Ta có $d-e=9=(b-a)f.$

 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vanchanh123: 18-08-2016 - 16:09

Đời người là một hành trình...


#6 An Infinitesimal

An Infinitesimal

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1811 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:cù lao
  • Sở thích:~.*

Đã gửi 22-08-2016 - 13:08

Hồi xưa, mình không được thi OLP vì bối rối với bài loại này. Trong lớp, hầu hết không giải được... và chỉ một bạn giải bằng phương pháp thế.

 

(Thêm một chút thông tin chứ không có được ý tưởng tốt.)

Kỹ thuật đặt: chỉ chú ý vào phương trình thứ nhất, đặt sao cho "thành phần bậc nhất" của $x$ và $y$ mất đi. Sau khi đổi biến,  ở phương trình bậc nhất "chỉ còn" số hạng bậc hai.

Phần còn lại, phương trình thứ 2, do ảnh hưởng của phép đổi biến đã đề cập.

 

Việc qui về hệ đối xứng được hay không là còn tùy thuộc vào "đặc điểm" của hệ.

 

Xét hệ 

 

$$\left\{\begin{matrix}x^2+y^2+2ax+2by=c, & & \\ dx + ey +fxy =g, & & \end{matrix}\right.$$

trong đó $a, b, c, d, e, f, g$ là các số thực cho trước.

 

Đặt $u=x+a, v=y+b,$ ta có hệ

 

 
$\left\{\begin{matrix}u^2+v^2=c+a^2+b^2 & & \\ (d - bf)u + (e - af)u +fuv =g + ad + be - abf. & & \end{matrix}\right.$
 
 

Phép đổi biến trên dẫn về hệ phương trình đối xứng đối với $u, v$ khi và chỉ khi $d-e=(b-a)f.$

 

Bài toán trên có các dữ liệu: $a=7, b=-2, d=12, e=3, f=-1$. Ta có $d-e=9=(b-a)f.$

 

 

Tiếp tục xét hệ 

 

$$\left\{\begin{matrix}x^2+y^2+2ax+2by=c, & & \\ dx + ey +fxy =g, & & \end{matrix}\right.$$

trong đó $a, b, c, d, e, f, g$ là các số thực cho trước.

 

Trường hợp $f=0$, hệ trở nên rất "cơ bản".

 

 

Trường hợp $f\neq 0$, hệ trở "hấp dẫn" và "đáng quan tâm" hơn.

Hệ tương đương 

$$\left\{\begin{matrix}x^2+y^2+2ax+2by=c, & & \\ (x+e') (y+d') =g'+d'e', & & \end{matrix}\right.$$

trong đó $d'=d/f, e'=e/f, g'=g/f$.

Đặt $u=x+e', v=y+d'$, ta có hệ phương trình

$$\left\{\begin{matrix}u^2 +v^2+ 2(a - e')u +2(b - d')v=C, & & \\ uv =G, & & \end{matrix}\right.$$
trong đó $C= - d'^2 + 2 b d' - e'^2 + 2 a e' + c, G=g'+d'e'.$
 
Hướng tiếp cận thứ nhất hai thứ hai đều dẫn đến kết quả sau
Hệ là hệ đối xứng đối với $u$ và $\pm v$  khi và chỉ khi  
\[(a - e')= \pm (b - d')\]
Hay $e\mp e= a\mp b.$
 
Nếu thêm kỹ thuật giải các hệ sau biến đổi thì ta có thể có lời giải đẹp hơn cho một lớp rộng hệ ban đầu.
 
Nhận xét:
  1. Cả hai kỹ thuật trên đều dùng "P.P" tịnh tiến. Kỹ thuật thứ nhất tịnh tiến để đưa về PT đường tròn "chính tắc"- có tâm trùng gốc tọa độ; Kỹ thuật thứ hai đưa về PT hyperbolic "gần" chính tắc.
  2. ....(Khi nào nghĩ tiếp lại viết tiếp!)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vanchanh123: 22-08-2016 - 13:17

Đời người là một hành trình...





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh