GIải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix}x^2+y^2+xy+2x=7y & & \\ x^3+x^2y-x^2+2xy-6x+3y=0 & & \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix}x^2+y^2+xy+2x=7y & & \\ x^3+x^2y-x^2+2xy-6x+3y=0 & & \end{matrix}\right.$
#1
Đã gửi 17-08-2016 - 14:36
#2
Đã gửi 17-08-2016 - 19:07
Xin trình bày pp chữa cháy. Thế $y=\frac{-x^3+x^2+6x}{x^2+2x+3}$, ta được:
$(x^3+2x^2+3x)^2+(x^3-x^2-6x)^2-(x-7)(x^2+2x+3)(x^3-x^2-6x)+2x(x^2+2x+3)^2=0$
$\Leftrightarrow x=0;x=-2;x=\frac{1}{2}(-4-\sqrt{7}\pm \sqrt{5(7+4\sqrt{7})})$.
- eminemdech và NTA1907 thích
$$\mathbf{\text{Every saint has a past, and every sinner has a future}}.$$
#3
Đã gửi 17-08-2016 - 22:36
GIải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix}x^2+y^2+xy+2x=7y & & \\ x^3+x^2y-x^2+2xy-6x+3y=0 & & \end{matrix}\right.$
Góp thêm chút "sắc màu":
- L Lawliet, eminemdech, leminhnghiatt và 1 người khác yêu thích
Đời người là một hành trình...
#4
Đã gửi 18-08-2016 - 10:14
Đặt $ u= x+7, v=y-2 $, ta có hệ đối xứng sau
\[\left\{\begin{matrix}10u + 10v - uv = 82, & & \\ u^2 + v^2 = 71=0. & & \end{matrix}\right.\](Xin dừng vẻ vời ở đây!)
Bạn chỉ cho mình biết ý tưởng ở đoạn này với được không, bình thường đến đây mình toàn rút thế (và hay bí luôn) nhưng đặt ra được hệ đối xứng vậy đẹp quá (
- eminemdech yêu thích
Thích ngủ.
#5
Đã gửi 18-08-2016 - 13:36
Góp thêm chút "sắc màu":
Trường hợp 1: $x=0$: Hệ chỉ có nghiệm $ (0;0). $Trường hợp2: $x\neq 0$:$ PT2:=PT2\times x+PT1: $$\left\{\begin{matrix}x^2+y^2+xy+2x=7y & & \\ - 3x^2 - xy^2 + 9xy - 6x + 3y=0 & & \end{matrix}\right.$$ PT1:=PT1\times 3+PT2: $$\left\{\begin{matrix}y(12x + 3y - xy - 18)=0& & \\ - 3x^2 - xy^2 + 9xy - 6x + 3y=0 & & \end{matrix}\right.$Trường hợp 2.1: $ y=0 $. Hệ chỉ có nghiệm $ (-2;0) $.Trường hợp 2.2: $ y\neq 0 $.Hệ trở thành (sử dụng phương trình hệ đầu tiên)$\left\{\begin{matrix}x^2+y^2+xy+2x=7y & & \\ 12x + 3y - xy - 18=0 & & \end{matrix}\right.$\[\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x^2+y^2+14x-4y=18, & & \\ 12x + 3y - xy - 18=0. & & \end{matrix}\right.\]Đặt $ u= x+7, v=y-2 $, ta có hệ đối xứng sau\[\left\{\begin{matrix}10u + 10v - uv = 82, & & \\ u^2 + v^2 = 71=0. & & \end{matrix}\right.\](Xin dừng vẻ vời ở đây!)
Bạn chỉ cho mình biết ý tưởng ở đoạn này với được không, bình thường đến đây mình toàn rút thế (và hay bí luôn) nhưng đặt ra được hệ đối xứng vậy đẹp quá (
Hồi xưa, mình không được thi OLP vì bối rối với bài loại này. Trong lớp, hầu hết không giải được... và chỉ một bạn giải bằng phương pháp thế.
(Thêm một chút thông tin chứ không có được ý tưởng tốt.)
Kỹ thuật đặt: chỉ chú ý vào phương trình thứ nhất, đặt sao cho "thành phần bậc nhất" của $x$ và $y$ mất đi. Sau khi đổi biến, ở phương trình bậc nhất "chỉ còn" số hạng bậc hai.
Phần còn lại, phương trình thứ 2, do ảnh hưởng của phép đổi biến đã đề cập.
Việc qui về hệ đối xứng được hay không là còn tùy thuộc vào "đặc điểm" của hệ.
Xét hệ
$$\left\{\begin{matrix}x^2+y^2+2ax+2by=c, & & \\ dx + ey +fxy =g, & & \end{matrix}\right.$$
trong đó $a, b, c, d, e, f, g$ là các số thực cho trước.
Đặt $u=x+a, v=y+b,$ ta có hệ
Phép đổi biến trên dẫn về hệ phương trình đối xứng đối với $u, v$ khi và chỉ khi $d-e=(b-a)f.$
Bài toán trên có các dữ liệu: $a=7, b=-2, d=12, e=3, f=-1$. Ta có $d-e=9=(b-a)f.$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vanchanh123: 18-08-2016 - 16:09
- L Lawliet, grigoriperelmanlapdi, eminemdech và 2 người khác yêu thích
Đời người là một hành trình...
#6
Đã gửi 22-08-2016 - 13:08
Hồi xưa, mình không được thi OLP vì bối rối với bài loại này. Trong lớp, hầu hết không giải được... và chỉ một bạn giải bằng phương pháp thế.
(Thêm một chút thông tin chứ không có được ý tưởng tốt.)
Kỹ thuật đặt: chỉ chú ý vào phương trình thứ nhất, đặt sao cho "thành phần bậc nhất" của $x$ và $y$ mất đi. Sau khi đổi biến, ở phương trình bậc nhất "chỉ còn" số hạng bậc hai.
Phần còn lại, phương trình thứ 2, do ảnh hưởng của phép đổi biến đã đề cập.
Việc qui về hệ đối xứng được hay không là còn tùy thuộc vào "đặc điểm" của hệ.
Xét hệ
$$\left\{\begin{matrix}x^2+y^2+2ax+2by=c, & & \\ dx + ey +fxy =g, & & \end{matrix}\right.$$
trong đó $a, b, c, d, e, f, g$ là các số thực cho trước.
Đặt $u=x+a, v=y+b,$ ta có hệ
$\left\{\begin{matrix}u^2+v^2=c+a^2+b^2 & & \\ (d - bf)u + (e - af)u +fuv =g + ad + be - abf. & & \end{matrix}\right.$Phép đổi biến trên dẫn về hệ phương trình đối xứng đối với $u, v$ khi và chỉ khi $d-e=(b-a)f.$
Bài toán trên có các dữ liệu: $a=7, b=-2, d=12, e=3, f=-1$. Ta có $d-e=9=(b-a)f.$
Tiếp tục xét hệ
$$\left\{\begin{matrix}x^2+y^2+2ax+2by=c, & & \\ dx + ey +fxy =g, & & \end{matrix}\right.$$
trong đó $a, b, c, d, e, f, g$ là các số thực cho trước.
Trường hợp $f=0$, hệ trở nên rất "cơ bản".
Trường hợp $f\neq 0$, hệ trở "hấp dẫn" và "đáng quan tâm" hơn.
Hệ tương đương
$$\left\{\begin{matrix}x^2+y^2+2ax+2by=c, & & \\ (x+e') (y+d') =g'+d'e', & & \end{matrix}\right.$$
trong đó $d'=d/f, e'=e/f, g'=g/f$.
Đặt $u=x+e', v=y+d'$, ta có hệ phương trình
- Cả hai kỹ thuật trên đều dùng "P.P" tịnh tiến. Kỹ thuật thứ nhất tịnh tiến để đưa về PT đường tròn "chính tắc"- có tâm trùng gốc tọa độ; Kỹ thuật thứ hai đưa về PT hyperbolic "gần" chính tắc.
- ....(Khi nào nghĩ tiếp lại viết tiếp!)
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vanchanh123: 22-08-2016 - 13:17
Đời người là một hành trình...
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh