Chủ đề này có 1 trả lời

[Zz Isaac Newton Zz]

Giả sử $x, y$ là các số nguyên khác $0$ sao cho $\frac{x^{2}+y^{2}}{x+y}$ là số nguyên và là ước của $1978.$ Chứng minh rằng $x=y.$

[baopbc]

Bổ đề. Cho $p$ là số nguyên tố có dạng $4k+3$. Khi đó $p\mid x^2+y^2\iff p\mid x,p\mid y$.

Chứng minh. Dễ thấy chỉ cần chứng minh cho trường hợp cả hai số không chia hết cho $p$. Theo định lí $Fermat$ nhỏ thì:

$x^{p-1}\equiv y^{p-1}\equiv 1\pmod p\implies x^{p-1}+y^{p-1}\equiv 2\pmod p\implies x^{4k+2}+y^{4k+2}\equiv 2\pmod p$

$\iff (x^2)^{2k+1}+(y^2)^{2k+1}\equiv 2 \pmod p$ (mâu thuẫn do $p\mid x^2+y^2$. Bổ đề được chứng minh.

 

Quay lại bài toán. Giả sử $A=\frac{x^2+y^2}{x+y}$ có ước nguyên tố $p$ có dạng $4k+3\implies p\mid x^2+y^2$.

Theo bổ đề trên thì $p\mid x,p\mid y$. Đặt $x=pa,y=pb$ thì $A=p(\frac{a^2+b^2}{a+b})$.

Do đó ta chỉ cần xét trong trường hợp $A$ không có ước nguyên tố dạng $4k+3$.

Do $A\mid 1978=2.3.11.17$ nên ta xét với $A=1$ hoặc $A=2$.

Nếu $A=1$ thì $x^2+y^2=x+y$, do $x,y$ nguyên nên $x^2+y^2\geq x+y$. Dấu $"="$ xảy ra $\iff x=y=1.$

Nếu $A=2$ thì $x^2+y^2=2x+2y$, do $x,y$ nguyên nên dễ thấy $x=y=2$. Do đó $x=y.\ \blacksquare$