Chủ đề này có 1 trả lời

[tritanngo99]

Giải hệ phương trình:$\left\{\begin{matrix} 2\sqrt{x}+\frac{32}{(2\sqrt{y-3}+3)^2}=5\\\sqrt{\sqrt{x}(2\sqrt{x}+\sqrt{y-3}+1)}+\sqrt{(\sqrt{y-3}+1)(\sqrt{x}+2\sqrt{y-3}+2)}=\sqrt{6(x+(\sqrt{y-3}+1)^2)}  \end{matrix}\right.$

[royal1534]

Giải hệ phương trình:$\left\{\begin{matrix} 2\sqrt{x}+\frac{32}{(2\sqrt{y-3}+3)^2}=5\\\sqrt{\sqrt{x}(2\sqrt{x}+\sqrt{y-3}+1)}+\sqrt{(\sqrt{y-3}+1)(\sqrt{x}+2\sqrt{y-3}+2)}=\sqrt{6(x+(\sqrt{y-3}+1)^2)}  \end{matrix}\right.$

Đặt: $\sqrt{x}=a, \sqrt{y-3}+1=b$ ($a \geq 0, b \geq 1$)

 

$$PT(2) \Leftrightarrow \sqrt{2a^2+ab}+\sqrt{2b^2+ab}=6\sqrt{a^2+b^2}$$

 

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM và bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có:

 

$$VT \leq \sqrt{2(2a^2+ab)+2(b^2+ab)}=\sqrt{4(a^2+b^2)+4ab} \leq \sqrt{6(a^2+b^2)}=VP$$

 

Dấu $'='$ xảy ra khi $a=b$

 

Viết lại PT(1) ta có: $$2a+\frac{32}{(2b+1)^2}=5$$

 

$$\Leftrightarrow 2a+\frac{32}{(2a+1)^2}=5$$

 

$$\Leftrightarrow 2a(2a+1)^2+32-5(2a+1)^2=0$$

 

$$\Leftrightarrow (2a-3)^2(2a+3)=0$$

 

$$\Leftrightarrow a=\frac{3}{2} ( a \geq 0)$$

 

$$\Leftrightarrow \sqrt{x}=\frac{3}{2} \Leftrightarrow x=\frac{9}{4}$$

 

Ta có $$b=a=\frac{3}{2} \Leftrightarrow \sqrt{y-3}+1=\frac{3}{2} \Leftrightarrow y=\frac{13}{4}$$

 

Vậy $(x,y)=(\frac{9}{4},\frac{13}{4})$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi royal1534: 17-08-2016 - 18:41