Chủ đề này có 3 trả lời

[lephuonganh244]

Bài 1: Cho 3 số x,y,z đều >2 và thỏa mãn; $\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$+$\frac{1}{z}$=1.

CMR: (x-2)(y-2)(z-2)$\leq$1

Bài 2: cho a,b,c là độ dài các cạnh của tam giác và x,y,z là độ dài các đường phân giác của tam giác đó.

Cmr: $\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$+$\frac{1}{z}$$>$$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$+$\frac{1}{c}$

[NTA1907]

Bài 1: Cho 3 số x,y,z đều >2 và thỏa mãn; $\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$+$\frac{1}{z}$=1.

CMR: (x-2)(y-2)(z-2)$\leq$1

Áp dụng AM-GM ta có:

$\frac{1}{x}=\left ( \frac{1}{2}-\frac{1}{y} \right )+\left ( \frac{1}{2}-\frac{1}{z} \right )=\frac{y-2}{2y}+\frac{z-2}{2z}\geq \sqrt{\frac{(y-2)(z-2)}{yz}}$

Thiết lập các bất đẳng thưc tương tự rồi nhân vế theo vế ta được:

$\frac{1}{xyz}\geq \frac{(x-2)(y-2)(z-2)}{xyz} \Rightarrow đpcm$

[Dark Repulsor]

Bài 2: cho a,b,c là độ dài các cạnh của tam giác và x,y,z là độ dài các đường phân giác của tam giác đó.

Cmr: $\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$+$\frac{1}{z}$$>$$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$+$\frac{1}{c}$

Vẽ $AD,BE,CF$ là các đg p/g của $\triangle ABC$. Qua $C$, kẻ đg thẳng song song với $AD$ cắt $AB$ tại $M$

$\Rightarrow \angle ACM=\angle DAC=\angle BAD=\angle AMC\Rightarrow\triangle AMC$ cân tại $A\Rightarrow AM=AC=b$

Theo bđt tam giác: $MC<AM+AC=2b$

Theo định lý $Thales$: $\frac{AD}{MC}=\frac{AB}{MB}=\frac{AB}{AB+AM}$

                               $\Rightarrow x=AD=\frac{AB.MC}{AB+AM}<\frac{2bc}{b+c}$

                               $\Rightarrow\frac{1}{x}>\frac{1}{2}(\frac{1}{b}+\frac{1}{c})$

Thiết lập các bđt tương tự $\Rightarrow$ đpcm

[quangtohe]

Bài 1:

Đặt x-2=a,y-2=b,z-2=c(a,b,c>0)

Khi đó ta có:$\frac{1}{a+2}+\frac{1}{b+2}+\frac{1}{c+2}= 1$  (1)

Ta cần cm BĐT sau:$abc\leq 1$

Thật vậy từ (1) ta có:

$\frac{1}{a+2}= \left ( \frac{1}{2}-\frac{1}{y+2} \right )+\left ( \frac{1}{2}-\frac{1}{z+2} \right )= \frac{1}{2}\left ( \frac{y}{y+2}+\frac{z}{z+2} \right )\geq \sqrt{\frac{yz}{\left ( y+2 \right )\left ( z+2 \right )}}$

Cm 2 bđt tt rồi nhân lại với nhau ta đc điều phải cm