Chủ đề này có 4 trả lời

[gin hotaru]

$x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1$

 

[Hai2003]

Ta xét 2 TH $x$ chẵn hay lẻ

TH1: $x=2k\ (k\in \mathbb{Z})$

Biểu thức đề bài cho thành $A=16k^4+8k^3+4k^2+2k+1$

 

Ta có $(4k^2+k)^2<A\Leftrightarrow 3k^2+2k+1>0$ (luôn đúng)

Mặt khác $A\leq(4k^2+k+1)^2\Leftrightarrow k^2\geq 0$ (luôn đúng)

 

Vậy $(4k^2+k)^2<A\leq (4k^2+k+1)^2$. Để $A$ là số chính phương thì $k=0\implies x=0$

 

TH2: $x=2k+1\ (k\in \mathbb{Z})$

Với $k=0$ thì $x=1$ không thỏa đề bài.

Xét $k\neq 0$:

Biểu thức đề bài cho thành $A=16k^4+40k^3+40k^2+20k+5$

Ta có $(4k^2+5k+1)^2<A\Leftrightarrow 7k^2+10k+4>0$ (luôn đúng)

Mặt khác $A\leq(4k^2+5k+2)^2\Leftrightarrow k^2\geq 1$ (luôn đúng)

Vậy $(4k^2+5k+1)^2<A\leq (4k^2+5k+2)^2$. Để $A$ là số chính phương thì $\left[\begin{array}{ll}k=1\\ k=-1\end{array}\right.\implies \left[\begin{array}{ll}x=3\\ x=-1\end{array}\right.$

 

Vậy có 3 số thỏa mãn đề bài là $\color{red}{-1;0;3}$

[Jinbei]

Ta xét 2 TH $x$ chẵn hay lẻ

TH1: $x=2k\ (k\in \mathbb{Z})$

Biểu thức đề bài cho thành $A=16k^4+8k^3+4k^2+2k+1$

 

Ta có $(4k^2+k)^2<A\Leftrightarrow 3k^2+2k+1>0$ (luôn đúng)

Mặt khác $A\leq(4k^2+k+1)^2\Leftrightarrow k^2\geq 0$ (luôn đúng)

 

Vậy $(4k^2+k)^2<A\leq (4k^2+k+1)^2$. Để $A$ là số chính phương thì $k=0\implies x=0$

 

TH2: $x=2k+1\ (k\in \mathbb{Z})$

Với $k=0$ thì $x=1$ không thỏa đề bài.

Xét $k\neq 0$:

Biểu thức đề bài cho thành $A=16k^4+40k^3+40k^2+20k+5$

Ta có $(4k^2+5k+1)^2<A\Leftrightarrow 7k^2+10k+4>0$ (luôn đúng)

Mặt khác $A\leq(4k^2+5k+2)^2\Leftrightarrow k^2\geq 1$ (luôn đúng)

Vậy $(4k^2+5k+1)^2<A\leq (4k^2+5k+2)^2$. Để $A$ là số chính phương thì $\left[\begin{array}{ll}k=1\\ k=-1\end{array}\right.\implies \left[\begin{array}{ll}x=3\\ x=-1\end{array}\right.$

 

Vậy có 3 số thỏa mãn đề bài là $\color{red}{-1;0;3}$

 

Tại sao anh lại nghĩ đến hai trường hợp x chẵn và lẻ ạ ?

[gin hotaru]

các bạn dùng phương pháp "xét các số chính phương liên tiếp" giúp mình đc ko?

[youaremyfriend]

các bạn dùng phương pháp "xét các số chính phương liên tiếp" giúp mình đc ko?

Đặt $x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1=y$

  $<=>4x^{4}+4x^{3}+4x^{2}+4x+4=4y^{2}=(2y)^{2}$

Ta có

+) $(2x^{2}+x)^{2}=4x^{4}+4x^{3}+x^{2}<4x^{4}+4x^{3}+4x^{2}+4x+4$     (1)

   $<=>0<3x^{2}+4x+4$

   $<=>0<(x+2)^{2}+2x^{2}$ luôn đúng

+) $(2x^{2}+x+2)^{2}=4x^{4}+4x^{3}+9x^{2}+4x+4>4x^{4}+4x^{3}+4x^{2}+4x+4$    (2)

   $<=>5x^{2}>0$ luôn đúng vs $x\neq 0$

(1),(2)=>$(2x^{2}+x)^{2}<(2y)^{2}<(2x^{2}+x+2)$

          =>$(2y)^{2}=(2x^{2}+x+1)^{2}$

$<=>4x^{4}+4x^{3}+4x^{2}+4x+4=4x^{4}+4x^{3}+5x^{2}+2x+1$

$<=> x^{2}-2x-3=0$

$<=>(x-3)(x+1)=0$

$<=>x=3; x=-1$

+)x=0 => $y^{2}=1$ là số cp

Vậy x=-1;0;3.