$x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1$
Ta xét 2 TH $x$ chẵn hay lẻ
TH1: $x=2k\ (k\in \mathbb{Z})$
Biểu thức đề bài cho thành $A=16k^4+8k^3+4k^2+2k+1$
Ta có $(4k^2+k)^2<A\Leftrightarrow 3k^2+2k+1>0$ (luôn đúng)
Mặt khác $A\leq(4k^2+k+1)^2\Leftrightarrow k^2\geq 0$ (luôn đúng)
Vậy $(4k^2+k)^2<A\leq (4k^2+k+1)^2$. Để $A$ là số chính phương thì $k=0\implies x=0$
TH2: $x=2k+1\ (k\in \mathbb{Z})$
Với $k=0$ thì $x=1$ không thỏa đề bài.
Xét $k\neq 0$:
Biểu thức đề bài cho thành $A=16k^4+40k^3+40k^2+20k+5$
Ta có $(4k^2+5k+1)^2<A\Leftrightarrow 7k^2+10k+4>0$ (luôn đúng)
Mặt khác $A\leq(4k^2+5k+2)^2\Leftrightarrow k^2\geq 1$ (luôn đúng)
Vậy $(4k^2+5k+1)^2<A\leq (4k^2+5k+2)^2$. Để $A$ là số chính phương thì $\left[\begin{array}{ll}k=1\\ k=-1\end{array}\right.\implies \left[\begin{array}{ll}x=3\\ x=-1\end{array}\right.$
Vậy có 3 số thỏa mãn đề bài là $\color{red}{-1;0;3}$
Ta xét 2 TH $x$ chẵn hay lẻ
TH1: $x=2k\ (k\in \mathbb{Z})$
Biểu thức đề bài cho thành $A=16k^4+8k^3+4k^2+2k+1$
Ta có $(4k^2+k)^2<A\Leftrightarrow 3k^2+2k+1>0$ (luôn đúng)
Mặt khác $A\leq(4k^2+k+1)^2\Leftrightarrow k^2\geq 0$ (luôn đúng)
Vậy $(4k^2+k)^2<A\leq (4k^2+k+1)^2$. Để $A$ là số chính phương thì $k=0\implies x=0$
TH2: $x=2k+1\ (k\in \mathbb{Z})$
Với $k=0$ thì $x=1$ không thỏa đề bài.
Xét $k\neq 0$:
Biểu thức đề bài cho thành $A=16k^4+40k^3+40k^2+20k+5$
Ta có $(4k^2+5k+1)^2<A\Leftrightarrow 7k^2+10k+4>0$ (luôn đúng)
Mặt khác $A\leq(4k^2+5k+2)^2\Leftrightarrow k^2\geq 1$ (luôn đúng)
Vậy $(4k^2+5k+1)^2<A\leq (4k^2+5k+2)^2$. Để $A$ là số chính phương thì $\left[\begin{array}{ll}k=1\\ k=-1\end{array}\right.\implies \left[\begin{array}{ll}x=3\\ x=-1\end{array}\right.$
Vậy có 3 số thỏa mãn đề bài là $\color{red}{-1;0;3}$
Tại sao anh lại nghĩ đến hai trường hợp x chẵn và lẻ ạ ?
các bạn dùng phương pháp "xét các số chính phương liên tiếp" giúp mình đc ko?
các bạn dùng phương pháp "xét các số chính phương liên tiếp" giúp mình đc ko?
Đặt $x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1=y$
$<=>4x^{4}+4x^{3}+4x^{2}+4x+4=4y^{2}=(2y)^{2}$
Ta có
+) $(2x^{2}+x)^{2}=4x^{4}+4x^{3}+x^{2}<4x^{4}+4x^{3}+4x^{2}+4x+4$ (1)
$<=>0<3x^{2}+4x+4$
$<=>0<(x+2)^{2}+2x^{2}$ luôn đúng
+) $(2x^{2}+x+2)^{2}=4x^{4}+4x^{3}+9x^{2}+4x+4>4x^{4}+4x^{3}+4x^{2}+4x+4$ (2)
$<=>5x^{2}>0$ luôn đúng vs $x\neq 0$
(1),(2)=>$(2x^{2}+x)^{2}<(2y)^{2}<(2x^{2}+x+2)$
=>$(2y)^{2}=(2x^{2}+x+1)^{2}$
$<=>4x^{4}+4x^{3}+4x^{2}+4x+4=4x^{4}+4x^{3}+5x^{2}+2x+1$
$<=> x^{2}-2x-3=0$
$<=>(x-3)(x+1)=0$
$<=>x=3; x=-1$
+)x=0 => $y^{2}=1$ là số cp
Vậy x=-1;0;3.
Life is too short to hesitate
so do what you want so as not to regret
0 members, 1 guests, 0 anonymous users