Chủ đề này có 1 trả lời

[uyennhi]

tìm m để phương trình có nghiệm

$\left\{\begin{matrix}\sqrt{x^{2}+y^{2}}+\sqrt{x^{2}-y^{2}}=m^{2} & \\ \sqrt{x+y}-\sqrt{x-y}=m & \end{matrix}\right.$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi uyennhi: 19-08-2016 - 18:46

[An Infinitesimal]

tìm m để phương trình có nghiệm

$\left\{\begin{matrix}\sqrt{x^{2}+y^{2}}+\sqrt{x^{2}-y^{2}}=m^{2} & \\ \sqrt{x+y}-\sqrt{x-y}=m & \end{matrix}\right.$

Đặt $u=\sqrt{x+y}, v=\sqrt{x-y}.$

Hệ ban đầu có nghiệm khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm thỏa $u, v\ge 0$

$\left\{\begin{matrix}\sqrt{u^4+v^4}+uv\sqrt{2}=m^{2}\sqrt{2}& \\ u-v=m & \end{matrix}\right.$

 

 

$\left\{\begin{matrix}\sqrt{u^4+v^4}+uv\sqrt{2}=m^{2}\sqrt{2}& \\ u-v=m & \end{matrix}\right.$

 

$\left\{\begin{matrix}u= v+m,&\\\sqrt{(v+m)^4+v^4}+v(v+m)\sqrt{2}=m^{2}\sqrt{2}& \end{matrix}\right.$

 

Hệ có nghiệm khi và chỉ khi phương trình thứ hai có nghiệm không âm.

Đặt $f(v)=\sqrt{(v+m)^4+v^4}+v(v+m)\sqrt{2}-m^{2}\sqrt{2}.$ Đây là hàm liên tục trên $[0,\infty).$

Ta có $f(0)=(1-\sqrt{2}) m^2\le 0$, và $f(2|m|) \ge \sqrt{(2|m|+m)^4+(2m)^4}-m^{2}\sqrt{2} \ge 0.$

Do đó phương trình thứ hai luôn có nghiệm không âm với mọi $m$.

Vậy hệ ban đầu luôn có nghiệm với mọi $m$. (!??!!!) 

 

 

----------------------------------------------------------------------

(Bonus!!!)

 

Đặt $Q=uv,$ thay $u-v=m$ vào phương trình thứ nhất, ta có ta có phương trình

\[\sqrt{m^4+4m^2Q+2Q^2}+Q\sqrt{2}= m^2\sqrt{2}.\]

ĐK: $0\le Q\le m^2.$

\[\Leftrightarrow m^4+4m^2Q+2Q^2=2Q^2+ 2m^4-4m^2Q.\]

 

\[\Leftrightarrow  Q= \frac{m^2}{8} \vee m=0.\]

Kết hợp điều kiện, ta có $Q= \frac{m^2}{8}.$

Do đó $u-v = m, uv= \frac{m^2}{8}.$

Khi đó $u=\frac{2m+|m|\sqrt{6}}{4}, v=\frac{-2m+|m|\sqrt{6}}{4}.$

Và 

$\left\{\begin{matrix}x= \frac{u^2+v^2}{2}=\frac{5m^2}{8},&\\y= \frac{u^2-v^2}{2}=\frac{m|m|\sqrt{6}}{4}.& \end{matrix}\right.$

 

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vanchanh123: 20-08-2016 - 13:16