tìm m để phương trình có nghiệm
$\left\{\begin{matrix}\sqrt{x^{2}+y^{2}}+\sqrt{x^{2}-y^{2}}=m^{2} & \\ \sqrt{x+y}-\sqrt{x-y}=m & \end{matrix}\right.$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi uyennhi: 19-08-2016 - 18:46
tìm m để phương trình có nghiệm
$\left\{\begin{matrix}\sqrt{x^{2}+y^{2}}+\sqrt{x^{2}-y^{2}}=m^{2} & \\ \sqrt{x+y}-\sqrt{x-y}=m & \end{matrix}\right.$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi uyennhi: 19-08-2016 - 18:46
tìm m để phương trình có nghiệm
$\left\{\begin{matrix}\sqrt{x^{2}+y^{2}}+\sqrt{x^{2}-y^{2}}=m^{2} & \\ \sqrt{x+y}-\sqrt{x-y}=m & \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix}\sqrt{u^4+v^4}+uv\sqrt{2}=m^{2}\sqrt{2}& \\ u-v=m & \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix}u= v+m,&\\\sqrt{(v+m)^4+v^4}+v(v+m)\sqrt{2}=m^{2}\sqrt{2}& \end{matrix}\right.$
Hệ có nghiệm khi và chỉ khi phương trình thứ hai có nghiệm không âm.
Đặt $f(v)=\sqrt{(v+m)^4+v^4}+v(v+m)\sqrt{2}-m^{2}\sqrt{2}.$ Đây là hàm liên tục trên $[0,\infty).$
Ta có $f(0)=(1-\sqrt{2}) m^2\le 0$, và $f(2|m|) \ge \sqrt{(2|m|+m)^4+(2m)^4}-m^{2}\sqrt{2} \ge 0.$
Do đó phương trình thứ hai luôn có nghiệm không âm với mọi $m$.
Vậy hệ ban đầu luôn có nghiệm với mọi $m$. (!??!!!)
----------------------------------------------------------------------
(Bonus!!!)
Đặt $Q=uv,$ thay $u-v=m$ vào phương trình thứ nhất, ta có ta có phương trình
\[\sqrt{m^4+4m^2Q+2Q^2}+Q\sqrt{2}= m^2\sqrt{2}.\]
ĐK: $0\le Q\le m^2.$
\[\Leftrightarrow m^4+4m^2Q+2Q^2=2Q^2+ 2m^4-4m^2Q.\]
\[\Leftrightarrow Q= \frac{m^2}{8} \vee m=0.\]
Kết hợp điều kiện, ta có $Q= \frac{m^2}{8}.$
Do đó $u-v = m, uv= \frac{m^2}{8}.$
Khi đó $u=\frac{2m+|m|\sqrt{6}}{4}, v=\frac{-2m+|m|\sqrt{6}}{4}.$
Và
$\left\{\begin{matrix}x= \frac{u^2+v^2}{2}=\frac{5m^2}{8},&\\y= \frac{u^2-v^2}{2}=\frac{m|m|\sqrt{6}}{4}.& \end{matrix}\right.$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vanchanh123: 20-08-2016 - 13:16
Đời người là một hành trình...
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh