Cho $f,g$ là hai đa thức hệ số thực thỏa mãn $f(Z)=g(Z)$ , trong đó $Z$ là tập số nguyên . Chứng minh rằng tồn tại số nguyên $A$ thỏa mãn hoặc là $f(x)=g(x+A)$ hoặc là $f(x)=g(A-x)$.
Một số vấn đề liên quan :
$1)$ Mở rộng bài toán trên từ tập $Z$ sang tập $Q$ . Khi đó hãy chứng minh tồn tại $a,b$ thỏa mãn $f(x)=g(ax+b)$
$2)$ Tìm tất cả các đa thức hệ số nguyên mà $f(x)$ nguyên tố khi và chỉ khi $x$ là số nguyên tố .
$3)$ Tìm tất cả các đa thức hệ số thực thỏa mãn phương trình $f(x)=n$ có nghiệm hữu tỷ với mọi $n$ nguyên dương .
$4)$ Tìm tất cả các đa thức hệ số thực thỏa mãn $f(x)$ nguyên thì $f(x+1)$ nguyên
$5)$ Cho hai đa thức $P(x),Q(x)$ thỏa mãn $P(x)$ nguyên khi và chỉ khi $Q(x)$ nguyên. Chứng minh một trong hai đa thức $P-Q,P+Q$ phải là hằng số nguyên .
$6)$ Tìm tất cả các đa thức $f(x)$ mà $f$ là số hữu tỷ khi và chỉ khi $x$ là số hữu tỷ .
Rất mong có lời giải đơn giản cho bài toán $1$ mấy bài này hay quá
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bangbang1412: 19-08-2016 - 20:32