Chủ đề này có 3 trả lời

[tritanngo99]

                               ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT CẤP THÀNH PHỐ (HỒ CHÍ MINH)

                                                                   NĂM HỌC: 2015-2016

Bài 1:Giải phương trình: $x^2+1+\sqrt{\frac{(x^2-1)(2-x)}{x}}=\frac{4}{x}$

Bài 2: Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} (x-y)(x^2+xy+y^2-2)=2ln\frac{y+\sqrt{y^2+1}}{x+\sqrt{x^2+1}}\\(x-2)log_{3}(x)+ylog_{3}(y)=x+1  \end{matrix}\right.$

Bài 3: Cho $x,y,z$ là các số thực thỏa mãn: $x^2+y^2+\frac{3}{2}=2(x+y)$. Tìm GTLN và GTNN của biểu thức:

$P=\frac{6-2(x-1)(y-1)}{(x-1)^2+(y-1)^2}$

Bài 4: Tìm $m$ để phương trình $m(sin2x+1)+1=(m-3)(sin x+cos x)$ có đúng hai nghiệm phân biệt trên đoạn $[0;\frac{\pi}{2}]$

Bài 5: Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện $ABCD$ biết $AB=2,CD=2\sqrt{3},\widehat{ABC}=\widehat{BAD}=90^0$ và góc giữa $AD$ và $BC$ bằng $30^0$.

Bài 6: Trong một buổi tọa đàm về "Tình yêu tuổi học đường" tại lớp $12A$, có tất cả $21$ bạn tham gia và có $4$ cặp có tình cảm với nhau( không có học sinh nào thuộc về nhiều cặp). Cô giáo chọn ra $5$ bạn để tham gia một trò chơi tập thể. Hỏi có bao nhiêu cách chọn mà trong đó, có ít nhất $1$ cặp tình cảm với nhau

HẾT

[L Lawliet]

Bài 1:Giải phương trình: $x^2+1+\sqrt{\frac{(x^2-1)(2-x)}{x}}=\frac{4}{x}$

Lời giải.

Điều kiện xác định: $x\in \left [ -1;0 \right )\cup \left [ 1;2 \right ]$.

Vì $\text{VT}$ của phương trình không âm nên $\text{VP}=\dfrac{4}{x}$ cũng phải không âm do đó ta chỉ xét trên đoạn $\left [ 1;2 \right ]$.

Phương trình tương đương:

$$x^{3}+x+\sqrt{x\left ( x^{2}-1 \right )\left ( 2-x \right )}=4$$

$$\Leftrightarrow \left ( x^{3}-x \right )-2\left ( 2-x \right )+\sqrt{\left (x^{3}-x  \right )\left ( 2-x \right )}=0$$

Đặt $\sqrt{x^{3}-x}=a\geq 0$, $\sqrt{2-x}=b\geq 0$. Phương trình trở thành:

$$a^{2}-2b^{2}+ab=0$$

$$\left ( a-b \right )\left ( a+2b \right )=0$$

Dễ thấy $a$ và $b$ không thể đồng thời bằng $0$ nên ta được $a=b$, hay:

$$\sqrt{x^{3}-x}=\sqrt{2-x}$$

$$\Leftrightarrow x^{3}-x=2-x$$

$$\Leftrightarrow x=\sqrt[3]{2}$$

Đối chiếu điều kiện xác định ta thấy $x=\sqrt[3]{2}$ thỏa mãn điều kiện vậy $x=\sqrt[3]{2}$ là nghiệm của phương trình đã cho.

[rfiyms]

Bài 3: Cho $x,y,z$ là các số thực thỏa mãn: $x^2+y^2+\frac{3}{2}=2(x+y)$. Tìm GTLN và GTNN của biểu thức:

$P=\frac{6-2(x-1)(y-1)}{(x-1)^2+(y-1)^2}$

Giả thuyết tương đương:

$$\left ( x-1 \right )^{2}+\left ( y-1 \right )^{2}=\dfrac{1}{2}$$

Đặt $x-1=a$, $y-1=b$ thì $a^{2}+b^{2}=\dfrac{1}{2}$ và $P$ trở thành:

$$P=\dfrac{6-2ab}{a^{2}+b^{2}}=12-4ab$$

Mặt khác với mọi số thực $a$, $b$ ta có bất đẳng thức sau:

$$-\left ( a^{2}+b^{2} \right )\leq 2ab\leq a^{2}+b^{2}$$

Dấu bằng xảy ra lần lượt khi $a=-b$ và $a=b$.

Do đó ta có $11\leq P\leq 13$.

Vậy $P_{\min }=11$ đạt được khi $x=y=\dfrac{1}{2}$, $P_{\max }=13$ đạt được khi $x=\dfrac{3}{2}$, $y=\dfrac{1}{2}$.

[rfiyms]

 Bài 6: Trong một buổi tọa đàm về "Tình yêu tuổi học đường" tại lớp $12A$, có tất cả $21$ bạn tham gia và có $4$ cặp có tình cảm với nhau( không có học sinh nào thuộc về nhiều cặp). Cô giáo chọn ra $5$ bạn để tham gia một trò chơi tập thể. Hỏi có bao nhiêu cách chọn mà trong đó, có ít nhất $1$ cặp tình cảm với nhau

Gọi $A$ là nhóm gồm các học sinh có tình cảm với nhau (gồm có $8$ học sinh) và $B$ là nhóm các học sinh còn lại (có $13$ học sinh).

$\bullet $ Trường hợp $1$: Có đúng $1$ cặp có tình cảm với nhau.

Đầu tiên chọn $1$ cặp có tình cảm với nhau thì có $4$ cách chọn.

Tiếp theo chọn $3$ học sinh trong đó không có $2$ em nào có tình cảm với nhau thì có những trường hợp sau:

- $3$ học sinh này thuộc nhóm $A$ thì có $2^{3}$ cách chọn.

- $2$ học sinh thuộc nhóm $A$, $1$ học sinh thuộc nhóm $B$ thì có $C_{3}^{2}.2^{2}.C_{13}^{1}$ cách chọn.

- $1$ học sinh thuộc nhóm $A$, $2$ học sinh thuộc nhóm $B$ thì có $C_{3}^{1}.2.C_{13}^{2}$ cách chọn.

- $3$ học sinh thuộc nhóm $B$ thì có $C_{13}^{3}$ cách chọn.

$\bullet $ Trường hợp $1$: Có đúng $2$ cặp có tình cảm với nhau.

Đầu tiên chọn $2$ cặp có tình cảm với nhau có $C_{4}^{2}$ cách chọn.

Học sinh còn lại có $C_{17}^{1}$ cách chọn.

Vậy tổng cộng có $4\left ( 2^{3}+C_{3}^{2}.2^{2}.C_{13}^{1}+C_{3}^{1}.2.C_{13}^{2}+C_{13}^{3} \right )+6.C_{17}^{1}=3774$ cách chọn.

Bài dùng từ kì quá, thay "có tình cảm" bằng "biết nhau" hoặc từ khác hay hơn