Bài còn lại :
Chú ý : Cách này không được khuyên dùng trừ khi bạn đã hết cách Mình đang nghĩ cách khác tốt hơn
Bạn phải có một chút kiến thức về tổ hợp
Bài làm
Giả sử trái với điều phải chứng minh. Tức là không tồn tại $20$ học sinh có tổng số tuổi lớn hơn $260$ hay tổng số tuổi của $20$ học sinh bất kì trong lớp luôn không vượt quá $260$
Gọi số tuổi của các học sinh trong lớp lần lượt là $a_1,a_2,...a_{34}$. Ta có $a_1+a_2+...+a_{34}=460$
Theo giả sử ta có $a_{15}+a_{16}+...+a_{34}\leq260$
Mà $a_1+a_2+...+a_{34}=460$
Nên $a_1+a_2+...+a_{14}\geq460-260=200\;\boxed{1}$
Tương tự ta tạo được $C_{14}^{34}$ đánh giá giống như $\boxed{1}$ và bao gồm cả $\boxed{1}$
Cộng các đánh giá này vế theo vế ta được :
$C_{13}^{33}(a_1+a_2+...+a_{34})\geq 200.C_{14}^{34}\Leftrightarrow a_1+a_2+...+a_{34}\geq\frac{3400}{7}\approx 486> 460$ (Trái giả thiết)
Do đó ta có điều phải chứng minh.
Giải thích:
Bản chất của việc tạo ra các đánh giá giống như $\boxed{1}$ là để ta ghép đối xứng.
Ví dụ ta cần chứng minh $a+b+c>6$ ta có thể chứng minh $a+b>4$, $b+c>4$, $c+a>4$ rồi cộng theo vế được $2(a+b+c)>3.4\;\boxed{2}$ suy ra điều phải chứng minh.
Con số $C_{14}^{34}$ vai trò như số $3$ trong đánh giá $\boxed{2}$, là số đánh giá cần tạo lập.
Con số $C_{13}^{33}$ vai trò như số $2$ trong đánh giá $\boxed{2}$, là số lần xuất hiện của mỗi số $a_1,a_2...a_n$ trong đánh giá chốt.
Tính số đánh giá cần tạo lập : Ta thấy đánh giá tạo thành từ $14$ phần tử trong tập hợp gồm $34$ phần tử, vậy số đánh giá cần tạo lập là $C_{14}^{34}$
Tính số lần xuất hiện : Chính là tính số đánh giá có chứa một số trong dãy (chẳng hạn $a_1$). Hay nói cách khác là từ $a_1$ ta lập được bao nhiêu đánh giá khác nhau.
Giả sử trong dãy chỉ có $33$ phần tử $a_2,a_3...a_{34}$ và cần chọn $13$ phần tử bất kì trong dãy thì số cách chọn là $C_{13}^{33}$. Mỗi cách chọn này kết hợp với $a_1$ sẽ thành $14$ phần tử trong dãy $34$ phần tử ban đầu. Suy ra từ $a_1$ ta lập được $C_{13}^{33}$ đánh giá khác nhau.
Do đó số lần xuất hiện của mỗi số là $C_{13}^{33}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi 12345678987654321123456789: 21-08-2016 - 22:09