Cho các số dương a, b, c. Chứng minh rằng:
$\frac{a}{\sqrt{a^{2}+8bc}}+\frac{b}{\sqrt{b^{2}+8ca}}+\frac{c}{\sqrt{c^{2}+8ab}}\geq 1$
Cho các số dương a, b, c. Chứng minh rằng:
$\frac{a}{\sqrt{a^{2}+8bc}}+\frac{b}{\sqrt{b^{2}+8ca}}+\frac{c}{\sqrt{c^{2}+8ab}}\geq 1$
BĐT IMO năm 2001(bài này cũ rồi bạn lên gg search nhé)
Áp dụng Cauchy-Schwarz dạng phân thức, ta được: $\sum_{cyc}\frac{a}{\sqrt{a^2+8bc}}=\sum_{cyc}\frac{a^2}{\sqrt{a}.\sqrt{a^3+8abc}}\geqslant \frac{(a+b+c)^2}{\sum_{cyc}\sqrt{a}.\sqrt{a^3+8abc}} $
Ta cần chứng minh: $\sum_{cyc}\sqrt{a}.\sqrt{a^3+8abc}\leqslant (a+b+c)^2$
Thật vậy, ta có: $\sum_{cyc}\sqrt{a}.\sqrt{a^3+8abc}\leqslant \sqrt{(a+b+c)(a^3+b^3+c^3+24abc)} \leqslant \sqrt{(a+b+c)(a+b+c)^3}=(a+b+c)^2$
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KietLW9: 04-04-2021 - 20:59
Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức
$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh