Đến nội dung

Hình ảnh

$\sum \frac{a}{\sqrt{a^{2}+8bc}}\geq 1$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
Shin Janny

Shin Janny

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 91 Bài viết

Cho các số dương a, b, c. Chứng minh rằng:

$\frac{a}{\sqrt{a^{2}+8bc}}+\frac{b}{\sqrt{b^{2}+8ca}}+\frac{c}{\sqrt{c^{2}+8ab}}\geq 1$



#2
hthang0030

hthang0030

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 175 Bài viết

BĐT IMO năm 2001(bài này cũ rồi bạn lên gg search nhé)



#3
KietLW9

KietLW9

    Đại úy

  • Điều hành viên THCS
  • 1737 Bài viết

Áp dụng Cauchy-Schwarz dạng phân thức, ta được: $\sum_{cyc}\frac{a}{\sqrt{a^2+8bc}}=\sum_{cyc}\frac{a^2}{\sqrt{a}.\sqrt{a^3+8abc}}\geqslant \frac{(a+b+c)^2}{\sum_{cyc}\sqrt{a}.\sqrt{a^3+8abc}} $

Ta cần chứng minh: $\sum_{cyc}\sqrt{a}.\sqrt{a^3+8abc}\leqslant (a+b+c)^2$

Thật vậy, ta có: $\sum_{cyc}\sqrt{a}.\sqrt{a^3+8abc}\leqslant \sqrt{(a+b+c)(a^3+b^3+c^3+24abc)} \leqslant \sqrt{(a+b+c)(a+b+c)^3}=(a+b+c)^2$

Đẳng thức xảy ra khi a = b = c


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KietLW9: 04-04-2021 - 20:59

Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức  :ukliam2:   :ukliam2: 

 

 

$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$

 

 

 





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh