Chủ đề này có 1 trả lời

[Shin Janny]

Cho a, b, c, x, y, z thỏa mãn $a> 0$ và $(b-1)^{2}-4ac<0$. Chứng minh rằng 3 bất đẳng thức $ax^{2}+bx+c\leq y$, $ay^{2}+by+c\leq z$, $az^{2}+bz+c\leq x$ không thể cùng đúng.

[davidsilva98]

Cho a, b, c, x, y, z thỏa mãn $a> 0$ và $(b-1)^{2}-4ac<0$. Chứng minh rằng 3 bất đẳng thức $ax^{2}+bx+c\leq y$, $ay^{2}+by+c\leq z$, $az^{2}+bz+c\leq x$ không thể cùng đúng.

 

Giả sử cả $3$ bất đẳng thức trên cùng đúng. Khi đó, cộng $3$ bất đẳng thức ta được $$a(x^2+y^2+z^2)+(b-1)(x+y+z)+3c\leq 0$$ Mặt khác, ta lại có bất đẳng thức sau $$x^2+y^2+z^2\geq \frac{(x+y+z)^2}{3}$$ Từ đó suy ra $$\frac{a(x+y+z)^2}{3}+(b-1)(x+y+z)+3c\leq 0$$ Đặt $t=\frac{x+y+z}{3}$. Dẫn đến $$\frac{at^2}{3}+(b-1)t+3c\leq 0\Leftrightarrow \frac{a}{3}\left [t+\frac{3(b-1)}{2a}  \right ]^2+\frac{3\left [ 4ac-(b-1)^2 \right ]}{4a}\leq 0$$ Kết hợp giả thiết ta thấy bất đẳng thức trên vô lý. Dẫn đến điều giả sử là sai

 

Vậy bài toán được chứng minh.