Chủ đề này có 1 trả lời

[trauvang97]

BÀI TOÁN: Chứng minh BĐT sau bằng xác suất:
Cho $p,q\geq 0,p+q\leq 1$, $m,n$ là hai số nguyên dương. Chứng minh rằng:

 

$(1-p^m)^n+(1-q^n)^m\geq 1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi trauvang97: 22-08-2016 - 08:21

[WhjteShadow]

BÀI TOÁN: Chứng minh BĐT sau bằng xác suất:
Cho $p,q\geq 0,p+q\leq 1$, $m,n$ là hai số nguyên dương. Chứng minh rằng:

$(1-p^m)^n+(1-q^n)^m\geq 1$

Mình có thể giả sử $p+q=1$ vì $(1-q^n)^m\geq (1-(1-p)^n)^m$. Lúc đó ta xét sự tô màu của bảng $m\times n$, ở mỗi ô, xác suất tô màu xanh vào là $p$, xác suất tô màu đỏ vào đó là $q$.

Khi đó $1-p^m$ là xác suất để ở một cột, tồn tại ít nhất một ô màu đỏ. Còn $1-q^n$ là xác suất để ở một hàng, tồn tại ít nhất một ô màu xanh.

Và $(1-p^m)^n$ là xác suất để $n$ cột, mỗi cột có ít nhất một ô màu đỏ, (1-q^n)^m$ là xác suất để $m$ hàng, mỗi hàng có ít nhất một ô màu xanh.

Tổng 2 xác suất này là $\geq 1$ vì mọi cách tô màu bảng đều thỏa mãn một trong 2 điều kiện trên. (Phản chứng thấy ngay)