Mặt phẳng nổi $P^{2}$ là mặt compact , ánh xạ thương $p: S^{1} \to P^{2}$ là ánh xạ phủ .
Proof .
Trước tiên ta cần cái definition :
Nếu $A \subset X$ và $p : X \to A$ là surjective map thì tồn tại chỉ một topo trên $A$ sao cho $p$ là ánh xạ thương . Cái này proof cũng không khó theo defi của nó .
Trước tiên cm ánh xạ thương là mở tức là ( hiển nhiên nó surjective )
$$p : S^{1} \to P^{2}$$
$$x \to [x]$$
Gọi $U$ mở của $S^{2}$ , antipodal map là
$$\alpha : S^{2} \to S^{2} $$
$$\alpha(x) = -x$$
Là đồng phôi , hiển nhiên , thế thì $a(U)$ mở trong $S^{2}$ , ta có
$$p^{-1}(p(U)) = U \cap \alpha(U)$$
Tương tự $p$ là ánh xạ đóng . Giờ nó là covering . Hiển nhiên ta thấy
$$p^{-1}(p(U)) = U \cap \alpha(U)$$
Mỗi cái mà map qua $p$ thì đồng phôi với $p(U)$ , vậy nó là covering . Nên chỉ còn chứng minh nó là mặt compact .
Lemma : Nếu $p : E \to B$ là covering map và $p(e_{0})=b_{0}$ . Nếu $E$ path connected thì lifting correspondence :
$$\phi : \pi_{1}(B,b_{0}) \to p^{-1}(b_{0})$$
Là surjective . Nếu $E$ simply connected thì nó là bijective .
Vậy áp dụng lemma trên ta thấy $S^{2}$ là simply connected ta có một song ánh giữa $\pi_{1}(P^{2},y)$ và $p^{-1}(y)$ contain $y$ và $-y$ do đó
$$\pi_{1}(P^{2},y) \cong Z/2$$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bangbang1412: 13-01-2017 - 23:04