Chủ đề này có 112 trả lời

[giang2301]

ĐK:
$\left\{\begin{matrix} 4x-y^2\geq 0(1)& \\ y+2\geq 0(2)& \\ 4x^2+y\geq 0(3)& \end{matrix}\right.\Rightarrow (3)-(1)+(2)\Leftrightarrow (2x-1)^2+(y+1)^2\geq 0$
vậy $\left\{\begin{matrix} x=\frac{1}{2} & \\ y=-1 & \end{matrix}\right.$

[giang2301]

$\sqrt{4x-y^2}=\sqrt{4x^2+y}+\sqrt{y+2}\Leftrightarrow 4x-y^2=4x^2+y+y+2+2\sqrt{(4x^2+y)(y+2)}\Leftrightarrow (2x-1)^2+(y+1)^2+2\sqrt{(4x^2+y)(y+2)}=0\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x=\frac{1}{2} & & \\ y=-1 & & \end{matrix}\right.$

[Dellap]

cho ánh xạ      $ \mathfrak{f}:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$

                         x$\rightarrow$y :$f(x)$=$x^{3}-3x$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Dellap: 22-09-2017 - 18:43

[souhh]

$frac{1}{!}$

[trungta104]

$ \left\{\begin{matrix} 4x-y^2\geq 0(1)& \\ y+2\geq 0(2)& \\ 4x^2+y\geq 0(3)& \end{matrix}\right.\Rightarrow (3)-(1)+(2)\Leftrightarrow (2x-1)^2+(y+1)^2\geq 0 $

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi trungta104: 16-12-2017 - 10:24

[trungta104]

$\left\{\begin{array}{l}sinx\neq 0 \\cos2x\neq 1 \end{array}\right.$

[trungta104]

$\left\{\begin{array}{l}\frac{3}{5}+9x=108+y \\ 14^{x} - 25y = 7^{x} \\ x-9y = 6xy \end{array}\right.$

[Nerus]

Bài 1 (5 điểm). Cho dãy số $\left \langle x_n \right \rangle $ xác định bởi
$\begin{cases}
& x_0=-2\\ 
& x_n=\dfrac{1-\sqrt{1-4x_{n-1}}}{2} 
\end{cases}
$với mọi $n\geq 1 $
Đặt $u_n=n.x_n, v_n=\prod_{i=0}^n{(1+x_i^2)} $. Chứng minh rằng dãy $\left \langle u_n \right \rangle,\left \langle v_n \right \rangle $ có giới hạn hữu hạn
khi n tiến đến vô cùng.

Bài 2 (5 điểm). Cho $\mathcal A $ là tập hữu hạn các số thực dương phân biêt. Định nghĩa các tập $\mathcal B,\mathcal C $ như sau 

$\mathcal B=\left \{ \dfrac{x}{y}; x,y\in \mathcal A \right \},\mathcal C=\left \{ x.y ; x,y\in \mathcal A \right \} $

Chứng minh rằng 

$|\mathcal A|.|\mathcal B|\leq |\mathcal C|^2 $

Bài 3 (5 điểm).Cho hai đường tròn (O) và (O') cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B. Chọn hai điểm P,Q tương ứng nằm trên (O) và (O') sao cho AP=AQ. Đường thẳng PQ cắt (O) và (O') tương ứng tại M,N. Gọi E,F lần lượt là trung điểm cung BP và BQ không chứa A. Chứng minh rằng MNEF là tứ giác nội tiếp

Bài 4 (5 điểm). Cho một bảng ô vuông gồm 9 cột và n hàng. Tìm giá trị lớn nhất của n sao cho ta có thể điền được vào các ô của bảng, mỗi ô bởi một số trong tập {1,2,..,9} sao cho 
a) Mỗi hàng chứa đủ các số $1,2,...,9 $;
b) Không có hai hàng nào giống nhau;
c) với hai hàng bất kì,luôn tìm được ít nhất một cột sao cho giao của nó với hàng đó chưa hai số giống nhau.

[Nerus]

 Cho dãy số $\left \langle x_n \right \rangle $ xác định bởi
$\begin{cases}
& x_0=-2\\ 
& x_n=\dfrac{1-\sqrt{1-4x_{n-1}}}{2} \end{cases}$

$n\geq 1
Đặt $u_n=n.x_n, v_n=\prod_{i=0}^n{(1+x_i^2)} $. Chứng minh rằng dãy $\left \langle u_n \right \rangle,\left \langle v_n \right \rangle $ có giới hạn hữu hạn
khi n tiến đến vô cùng.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nerus: 27-12-2017 - 21:31

[Nerus]

$x,y,z\geq 0$. CMR

$\sum \left (\frac{x}{y+z} \right )^{\frac{1}{2}}\geq \left ( 1+\frac{\prod x}{\prod \left ( x+y \right )} \right )^{\frac{1}{2}}$

[Nerus]

$a,b,c\geq 0 CMR \sum \left ( \frac{a}{b+c} \right )^{2}+\frac{1}{2}\geq \frac{5}{4}.\frac{\sum a^{2}}{\sum ab}$

[bangbang1412]

Chương này cung cấp một xây dựng chi tiết của phương pháp tối ưu hóa bậc hai nguyên mẫu, phương pháp Newton, như một cách liên tục trên đa tạp. Chúng tôi đề xuất một công thức để tính toán không điểm của trường vector trên đa tạp trang bị với một kết nối affine ( affine connection ) và một co rút ( retraction ). Cụ thể hơn, khi đa tạp là Riemann, phương pháp hình học Newton này có thể sử dụng để tính các điểm nguy hiểm ( critical points ) của một " cost function " bằng cách tìm kiếm các không điểm của " gradient vector field " của nó. Trong trường hợp mà không gian nền ( underlying space ) là Euclid, thuật toán đề xuất giảm đến phương pháp Newton cổ điển. Mặc dù công thức cho thuật toán được cung cấp trong một " framework " tổng quát, những ứng dụng của lợi ích trong cuốn sách này là có một cấu trúc ma trận đa tạp ( xem chap $3$ ). Chúng tôi đưa ra vài ví dụ ứng dụng của phương pháp hình học Newton cho những vấn đề định luật của các không gian con. 

$6.1$ Phương pháp Newton trên đa tạp 

Trong chap $5$ chúng ta đã bắt đầu thảo luận về phương pháp Newton và các vấn đề kéo theo việc mở rộng một thuật Toán tương tự trên một đa tạp bất kì. Section $5.1$ đồng nhất việc phải làm với việc tính " a zero " của trường vector $\xi$ trên đa tạp Riemann $M$ trang bị một co rút ( retraction ) $R$. Chiến lược đã đề nghị là nhận được một " iterate " mới $x_{k+1}$ từ iterate cũ $x_{k}$ bằng các bước sau.

$1)$ Tìm một vector tiếp tuyến $\eta_{k} \in T_{x_{k}}M$ như là đạo hàm có hướng ( directional derivative ) của $\xi$ theo $\eta_{k}$ bằng với $-\xi$ 

$2)$ Co rút $\eta_{k}$ để nhận được $x_{k+1}$

Trong section $5.1$ chúng ta không thể tiếp tục phát triển xa hơn mà không đưa ra một định nghĩa mở rộng của đạo hàm có hướng của $\xi$ theo $\eta_{k}$. Kí hiệu của một liên kết affine ( affine connection ), xây dựng trong section $5.2$ bây giờ có thể chiếm một vị trí, và chúng ta có tất cả công cụ cần thiết để đề xuất thuật toán $4$, một phương pháp hình học Newton trên đa tạp bất kì trang bị một liên kết affine và một co rút.

Tương tự như trường hợp cổ điển, toán tử

$$J(x): T_{x}M \to T_{x}M : \eta \to \triangledown_{\eta} \xi$$

kéo theo trong $(6.1)$ được gọi là Jacobi của $\xi$ tại $x$. Phương trình $(6.1)$ được gọi là phương trình Newton, nghiệm của nó $\eta_{k} \in T_{x_{k}}M$ được gọi là vector Newton. 

[bangbang1412]

Thuật toán $4$, phương pháp hình học Newton cho trường vector.

Yêu cầu: Đa tạp $M$, co rút $R$ trên $M$, liên kết affine $\triangledown$ trên $M$, trường vector $\xi$ trên $M$.

Mục tiêu: Tìm một không điểm của $\xi$, cụ thể $x \in M$ mà $\xi_{x}=0$

Đầu vào: khởi lặp ban đầu $x_{0} \in M$ 

Đầu ra: Dãy các lặp $(x_{k})$

$1:$ Với $k=0,1,2,...$ làm

$2:$ Giải phương trình Newton:

$$J(x_{k})\eta_{k} = -\xi_{x_{k}}$$

Với $\eta_{k} \in T_{x_{k}}M$ chưa rõ, mà $J(x_{k})\eta_{k} = \triangledown_{x_{k}}\xi$

$3:$ Đặt:

$$x_{k+1}=R_{x_{k}}(\eta_{k})$$

$4:$ Kết thúc

Trong thuật toán $4$, việc chọn co rút $R$ và liên kết affine $\triangledown$ không được chỉ định. Việc tự do ( freedom ) là hợp lý từ việc hội tụ siêu mịn thỏa mãn với mọi co rút $R$ và mọi liên kết affine $\triangledown$. Tuy nhiên, nếu $M$ là đa tạp Riemann, có một liên kết tự nhiên - liên kết Riemann - a một co rút tự nhiên - ánh xạ mũ ( exponential mapping ). Từ những quan điểm tính toán , chọn $\triangledown$ như một liên kết Riemann là một mở rộng tốt, bởi nó nhận những công thức đơn giản trên các đa tạp Riemann con và đa tạp Riemann thương. Ngược lại, thay bằng việc chọn $R$ như một ánh xạ mũ, người ta thường kì vọng để xác định các co rút thay thế được tính toán hiệu quả hơn, ví dụ được đưa ra trong section $4.1$

Khi $M$ là một đa tạp Riemann, nó sẽ lợi khi gói ( wrap ) đến thuật toán $4$ trong một chiến lược tìm kiếm thẳng ( line-search strategy ) sử dụng " framework " của thuật toán $1$. Tại iterate hiện tại $x_{k}$, tìm kiếm trực tiếp $\eta_{k}$ là tính toán nghiệm của phương trình Newton $(6.1)$ , và $x_{k+1}$ được tính để thỏa mãn việc giảm điều kiện $(4.12)$ mà ở đó " cost funtion " $f$ được định nghĩa là:

$$f = < \xi,\xi>$$

Nhắc lại rằng minimizers toàn cục ( global ) của $f$ là các không điểm của trường vector $\xi$. Hơn nữa, nếu $\triangledown$ là liên kết Riemann, thế thì, tính tương thích với metric Riemann ( định lý $5.3.1.ii$ ), chúng ta có:

$$D<\xi,\xi>(x_{k})[\eta_{k}] = <\triangledown_{n_{k}}\xi, \xi> + < \xi, \triangledown_{\eta_{k}}xi>  = -2<\xi,\xi>_{x_{k}} < 0$$

bất cứ khi nào $\xi \neq 0$. Tiếp đó vector Newton $\eta_{k}$ được hạ thẳng xuống cho $f$, mặc dù $(\eta_{k})$ là " gradient-related " không cần thiết. Cách nhìn nhận này cung cấp " motive " khác cho việc chọn $\triangledown$ trong thuật toán $4$ như một liên kết Riemann. 

Nhắc lại rằng biểu diễn phân tích ( analytical expression ) của Jacobi $J(x)$ trong phương trình Newton $(6.1)$ có thể không khả dụng. Jacobi có thể không kì dị ( singular ) hoặc ill-conditioned, trong trường hợp phương trình Newton không thể giải cho $\eta_{k}$. Khắc phục những khó khăn này là đưa ra tiếp cận quasi-Newton biểu diễn trong section $8.2$

[thien huu]

$\sqrt{xy}$

[Phongson]

$1/{a^2} + {b^2} + {c^2} = 3$

[Phongson]

$P=frac{1}{{a^2} + {b^2} + {c^2} }

[Phongson]

$P=frac{1}{a^2} + {b^2} + {c^2}}$

[Phongson]

P=\frac{1}{3\left ( a^{2}+b^{2}+c^{2} \right )}}

[Phongson]

$P=\frac{1}{3\left ( a^{2}+b^{2}+c^{2} \right )}}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phongson: 01-06-2018 - 20:36

[NguyenHoaiTrung]

$\frac{1}{2x+\sqrt{x(x+3)}}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NguyenHoaiTrung: 11-06-2018 - 22:12