Đến nội dung

Hình ảnh

$\sum \sqrt{\frac{c^{2}+2ac}{a^{2}+2b^{2}}}\geq \frac{1}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}$

batdangthuc

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
Ngan Chery

Ngan Chery

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 23 Bài viết

Với 3 số dương a,b,c thỏa mãn a+b+c=1. Chứng minh: $\sqrt{\frac{a^{2}+2ab}{b^{2}+2c^{2}}} + \sqrt{\frac{b^{2}+2bc}{c^{2}+2a^{2}}}+\sqrt{\frac{c^{2}+2ac}{a^{2}+2b^{2}}}\geq \frac{1}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}$

 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ngan Chery: 23-08-2016 - 14:42

a


#2
Ngan Chery

Ngan Chery

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 23 Bài viết

Với 3 số dương a,b,c thỏa mãn a+b+c=1. Chứng minh: $\sqrt{\frac{a^{2}+2ab}{b^{2}+2c^{2}}} + \sqrt{\frac{b^{2}+2bc}{c^{2}+2a^{2}}}+\sqrt{\frac{c^{2}+2ac}{a^{2}+2b^{2}}}\geq \frac{1}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ngan Chery: 23-08-2016 - 14:44

a


#3
NTA1907

NTA1907

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1014 Bài viết

Với 3 số dương a,b,c thỏa mãn a+b+c=1. Chứng minh: $\sqrt{\frac{a^{2}+2ab}{b^{2}+2c^{2}}} + \sqrt{\frac{b^{2}+2bc}{c^{2}+2a^{2}}}+\sqrt{\frac{c^{2}+2ac}{a^{2}+2b^{2}}}\geq \frac{1}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}$

Áp dụng AM-GM ta có:

$\sum \sqrt{\frac{a^{2}+2ab}{b^{2}+2c^{2}}}=\sum \frac{a^{2}+2ab}{\sqrt{(a^{2}+2ab)(b^{2}+2c^{2})}}\geq \sum \frac{a^{2}+2ab}{\frac{a^{2}+2ab+b^{2}+2c^{2}}{2}}=\sum \frac{a^{2}+2ab}{\frac{(a+b)^{2}+2c^{2}}{2}}\geq \sum \frac{a^{2}+2ab}{\frac{2(a^{2}+b^{2}+c^{2})}{2}}=\frac{(a+b+c)^{2}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}=\frac{1}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}$

Dấu "=" xảy ra$\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{3}$


Vũ trụ không có biên trong không gian, không có bắt đầu và kết thúc trong thời gian và chẳng có việc gì cho đấng sáng thế phải làm ở đây cả.

 






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: batdangthuc

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh