Mình không giỏi lắm về khoản khai triển những biểu thức phức tạp nên sẽ nói hướng làm và việc trình bày cụ thể sẽ dành cho bạn Bảo:
Tất nhiên $q\neq 0$, nếu $q=1$ thì bước đầu tiên là ta sẽ di chuyển sang phải (hay di chuyển theo vector $(1,0)$). Ta sẽ quy nạp theo $m+n$ với $p$,$q$ bất kì, có thể xét riêng các trường hợp $m+n=1,2,3$ để suy ra dpcm.Giả sử bài toán đúng với $m+n=k$, xét $m+n=k+1$. Nếu $q=0$ thì ta có bài toán đúng, nếu $q>0$ thì đầu tiên ta có $2$ cách di chuyển:
+)Di chuyển theo vector $(0,1)$, lúc này ta tịnh tiến đồ thị theo vector $(0,-1)$ thì điểm $P$ sẽ thành điểm $(m,n-1)$, đường thẳng $L$ thành đường thẳng $y=px+q-1$, cách đi từ gốc $O$ (điểm ta đến được lúc đầu trước khi dùng phép tịnh tiến) đến $P$ là $\frac{q-1}{m+n-1}\binom{m+n-1}{m}$ theo giả thiết quy nạp
+)Di chuyển theo vector $(1,0)$, tịnh tiến theo vector $(-1,0)$, điểm đang đến trở thành gốc $O$, $P$ thành $(m-1,n)$, $L$ thành $y=px+p+q$, cách đi từ $O$ đến $P$ là $\frac{p+q}{m+n-1}\binom{m+n-1}{m-1}$
Cộng $2$ giá trị trên lại, lưu ý rằng $n=pm+q$, ta sẽ có cách đi từ $O$ đến $(m,n)$, suy ra dpcm theo nguyên lí quy nạp