Chủ đề này có 2 trả lời

[Math Hero]

Tìm m để hệ phương trình có nghiệm:

$\left\{\begin{matrix} \sqrt{x+1}+\sqrt{y+2}=m & \\x+y=3m & \end{matrix}\right.$

[L Lawliet]

Tìm m để hệ phương trình có nghiệm:

$\left\{\begin{matrix} \sqrt{x+1}+\sqrt{y+2}=m & \\x+y=3m & \end{matrix}\right.$

Lời giải.

Đặt $\sqrt{x+1}=a\geq 0$, $\sqrt{y+2}=b\geq 0$. Hệ trở thành:

$$\left\{\begin{matrix} a+b=m & \\ a^{2}+b^{2}=3m+3 & \end{matrix}\right.$$

$$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a+b=m & \\ \left ( a+b \right )^{2}-2ab=3m+3 & \end{matrix}\right.$$

$$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a+b=m & \\ ab=\dfrac{m^{2}-3m-3}{2} & \end{matrix}\right.$$

Do đó $a$, $b$ là nghiệm của phương trình:

$$2X^{2}-2mX+m^{2}-3m-3=0$$

Để hệ có nghiệm thì phương trình trên phải có hai nghiệm dương, tới đây bạn làm tiếp nhé

[12345678987654321123456789]

Đặt $\left\{\begin{matrix} a=\sqrt{x+1}\geq0\\ b=\sqrt{y+2}\geq0 \end{matrix}\right.$

Hệ trở thành $\left\{\begin{matrix} a+b=m\\ a^2+b^2=3m+3 \end{matrix}\right.$

Do $a\geq0$ và $b\geq0$ nên $m\geq0$

Ta có $ab=\frac12 \left[(a+b)^2-(a^2+b^2) \right]=\frac12 \left[ m^2-(3m+3)\right]=\frac12 (m^2-3m-3)$

Vì $a\geq0$ và $b\geq0$ nên $ab\geq0 \Leftrightarrow m^2-3m-3 \geq0 \Leftrightarrow m\geq \frac{3+\sqrt{21}}{2}$

$a,b$ là nghiệm của phương trình $u^2-mu+\frac12(m^2-3m-3)=0$ (ẩn $u$)

Xét $\Delta = m^2-4.\frac12(m^2-3m-3)=-m^2+6m+6$

Để PT có nghiệm thì $\Delta \geq 0 \Leftrightarrow 3-\sqrt{15}\leq m \leq 3+\sqrt{15}$

Kết hợp tất cả điều kiện lại được $\boxed{\frac{3+\sqrt{21}}{2}\leq m \leq 3+\sqrt{15}}$

Spoiler

Lại chậm hơn T.T

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi 12345678987654321123456789: 24-08-2016 - 16:14