Bài 2: Ta có : $\left ( a^{2}+b+c \right )\left ( 1+b+c \right )\geq \left ( a+b+c \right )^{2}$ $\Rightarrow \sqrt{\frac{a^{2}}{ a^{2}+b+c}} \leq \frac{a\sqrt{b+c+1}}{a+b+c}$
Tương tự $\Rightarrow LHS\leq \sum \frac{a\sqrt{b+c+1}}{a+b+c}\leq \frac{2\sum ab + 4\sum a}{2\sqrt{3}\left ( a+b+c \right )}\leq \frac{\left ( a+b+c \right )^{2}+6(a+b+c)}{3\sqrt{3}(a+b+c)} \leq \sqrt{3}$
Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c=1$
Bài 3:
Ta có : $\sum \frac{a+b+1}{a+b^{2}+c^{3}}\leq \sum \frac{(a+b+1)\left ( a+1+\frac{1}{c} \right )}{\left ( a+b+c \right )^{2}}$
Ta sẽ chứng minh :
$\sum \left ( a+b+1 \right )\left ( a+1+\frac{1}{c} \right )\leq \left [ \prod \left ( a+1 \right )+1 \right ]\left ( a+b+c \right )$
Nhưng đây là đẳng thức với $abc=1$ $\Rightarrow $ ĐPCM
Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c=1$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Senju Hashirama: 25-08-2016 - 13:51