Đến nội dung

Hình ảnh

Chứng minh rằng với mọi số thực a,b,c ta có : 2(1+abc)+\sqrt{2(1+a^2)(1+b^2)(1+c^2)}\geq \prod (1+a)


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
Minh Hieu Hoang

Minh Hieu Hoang

    Sĩ quan

  • Banned
  • 307 Bài viết

Bài 1 :$2(1+abc)+\sqrt{2\prod (1+a^2)}\geq \prod (1+a)$  (a,b,c >0)

Bài 2 : Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn $\sum a^2= 3$ . Cm:

                  $\sum \sqrt{\frac{a^2}{a^2+b+c}}\leq \sqrt{3}$

Bài 3 : a,b,c >0 tm:abc=1 .Cm:

                   $\sum \frac{a+b+1}{a+b^2+c^3}\leq \frac{\prod (a+1)+1}{a+b+c}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Minh Hieu Hoang: 25-08-2016 - 11:45

 
"...Từ ngay ngày hôm nay tôi sẽ chăm chỉ học hành như Stardi, với đôi tay nắm chặt và hàm răng nghiến lại đầy quyết tâm. Tôi sẽ nỗ lực với toàn bộ trái tim và sức mạnh để hạ gục cơn buồn ngủ vào mỗi tối và thức dậy sớm vào mỗi sáng. Tôi sẽ vắt óc ra mà học và không nhân nhượng với sự lười biếng. Tôi có thể học đến phát bệnh miễn là thoát khỏi cuộc sống nhàm chán khiến mọi người và cả chính tôi mệt mỏi như thế này. Dũng cảm lên! Hãy bắt tay vào công việc với tất cả trái tim và khối óc. Làm việc để lấy lại niềm vui, lấy lại nụ cười trên môi thầy giáo và cái hôn chúc phúc của bố tôi. " (Trích "Những tấm lòng cao cả")
 

#2
L Lawliet

L Lawliet

    Tiểu Linh

  • Thành viên
  • 1624 Bài viết

Bài 1 :$2(1+abc)+\sqrt{2\prod (1+a^2)}\geq \prod (1+a)$  (a,b,c >0)

Lời giải.

Ta có:

$$\left ( 1+b^{2} \right )\left ( 1+c^{2} \right )=\left ( b+c \right )^{2}+\left ( bc-1 \right )^{2}$$

$$2\left ( 1+a^{2} \right )=\left ( 1+a \right )^{2}+\left ( 1-a \right )^{2}$$

Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có:

$$2\left ( 1+abc \right )+\sqrt{\left [ \left ( b+c \right )^{2}+\left ( bc-1 \right )^{2} \right ]\left [ \left ( 1+a \right )^{2}+\left ( 1-a \right )^{2} \right ]}\geq \left ( b+c \right )\left ( 1+a \right )\left ( bc-1 \right )\left ( 1-a \right )+2\left ( 1+abc \right )=\left ( a+1 \right )\left ( b+1 \right )\left ( c+1 \right )$$

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=1$.


Thích ngủ.


#3
Senju Hashirama

Senju Hashirama

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 69 Bài viết

Bài 2: Ta có : $\left ( a^{2}+b+c \right )\left ( 1+b+c \right )\geq \left ( a+b+c \right )^{2}$  $\Rightarrow \sqrt{\frac{a^{2}}{ a^{2}+b+c}} \leq \frac{a\sqrt{b+c+1}}{a+b+c}$

Tương tự $\Rightarrow LHS\leq \sum \frac{a\sqrt{b+c+1}}{a+b+c}\leq \frac{2\sum ab + 4\sum a}{2\sqrt{3}\left ( a+b+c \right )}\leq \frac{\left ( a+b+c \right )^{2}+6(a+b+c)}{3\sqrt{3}(a+b+c)} \leq \sqrt{3}$

Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c=1$

 

Bài 3: 

Ta có : $\sum \frac{a+b+1}{a+b^{2}+c^{3}}\leq \sum \frac{(a+b+1)\left ( a+1+\frac{1}{c} \right )}{\left ( a+b+c \right )^{2}}$

Ta sẽ chứng minh :

 $\sum \left ( a+b+1 \right )\left ( a+1+\frac{1}{c} \right )\leq \left [ \prod \left ( a+1 \right )+1 \right ]\left ( a+b+c \right )$

 Nhưng đây là đẳng thức với $abc=1$  $\Rightarrow $ ĐPCM

Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c=1$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Senju Hashirama: 25-08-2016 - 13:51





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh