Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Tìm $x,y \in N^{*}$ sao cho $y^x \mid x^y-1$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1 Namthemaster1234

Namthemaster1234

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 550 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:K45 THPT chuyên Phan Bội Châu
  • Sở thích:Lịch Sử và Văn Hóa Trung Hoa

Đã gửi 25-08-2016 - 22:19

Tìm $x,y \in N^{*}$ sao cho $y^x \mid x^y-1$


Đừng lo lắng về khó khăn của bạn trong toán học, tôi đảm bảo với bạn rằng những khó khăn toán học của tôi còn gấp bội.
(Albert Einstein)

Visit my facebook: https://www.facebook.com/cao.simon.56

:icon6: :icon6: :icon6: :icon6: :icon6:


#2 ntphuchus

ntphuchus

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 3 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 05-04-2020 - 22:22

* Nếu $y=1$ thì $x$ có thể là một số nguyên dương bất kỳ.

* Nếu $y>1$. Gọi $p$ là ước nguyên tố nhỏ nhất của $y$ $\Longrightarrow$ $p|y^x$ $\Longrightarrow$ $p|x^y-1$ $\Longrightarrow$ $(x,p)=1$ $\Longrightarrow$ $p|x^{p-1}-1$.

Gọi $h=ord_p(x)$ $\Longrightarrow$ $h|y$ và $h|p-1$. 

Mà $(y,p-1)=1$ (vì $p$ là ước nguyên tố nhỏ nhất của $y$) $\Longrightarrow$ $h=1$ $\Longrightarrow$ $p|x-1$.

  - Nếu $p>2$, theo bổ đề LTE ta có : $v_p(x^y-1)=v_p(x-1)+v_p(y)$.

Mặt khác $v_p(y^x)=xv_p(y)$ và vì $y^x|x^y-1$ $\Longrightarrow$ $xv_p(y)\leq v_p(x-1)+v_p(y)$ $\Longrightarrow$ $(x-1)v_p(y)\leq v_p(x-1)$ $\Longrightarrow$ $x-1\leq v_p(x-1)$ (vì $v_p(y)\geq 1$) $\Longrightarrow$ $p^{x-1}\leq p^{v_p(x-1)}=x-1$ (vô lý vì $p^n\geq 3^n > n$ với mọi $n$).

  - Nếu $p=2$, theo bổ đề LTE ta có $v_2(x^y-1)=v_2(x^2-1)+v_2(y)-1$. 

Mà $v_2(y^x)=xv_x(y)$ $\Longrightarrow$ $xv_2(y)\leq v_2(x^2-1)+v_2(y)-1$ $\Longrightarrow$ $(x-1)v_2(y)+1\leq v_2(x^2-1)$ $\Longrightarrow$ $x-1+1=x\leq v_2(x^2-1)$ $\Longrightarrow$ $2^x\leq x^2-1$ $\Longrightarrow$ $2<x<4$ $\Longrightarrow$ $x=3$ $\Longrightarrow$ $y^3|3^y-1$.

Ngoài ra vì $(x-1)v_2(y)+1\leq v_2(x^2-1)$ $\Longrightarrow$ $(3-1)v_2(y)\leq v_2(3^2-1)$ $\Longrightarrow$ $v_2(y)=1$. 

    + Nếu $y=2$ thay vào thỏa mãn.

    + Nếu $y>2$, vì $v_2(y)=1$ suy ra $y$ có ước nguyên tố khác 2. Gọi $q$ là ước nguyên tố nhỏ nhất lớn hơn 2 của $y$ $\Longrightarrow$ $q|3^y-1$.

Gọi $t=ord_q(3)$ $\Longrightarrow$ $t|y$ và $t|q-1$ $\Longrightarrow$ $t|(q-1,y)$.

Vì $q$ là ước nguyên tố nhỏ nhất khác 2 của $y$ và $v_2(y)=1$ suy ra $(q-1,y)\leq 2$ $\Longrightarrow$ $h\leq 2$ $\Longrightarrow$ $q|3-1$ hoặc $q|3^2-1$ $\Longrightarrow$ $q=2$ (vô lý vì $q>2$).

Vậy nghiệm của bài toán là $(x,y)=(n,1)$ với $n$ là số nguyên dương bất kỳ hoặc $(x,y)=(3,2)$.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ntphuchus: 05-04-2020 - 22:30





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh