Cho các số thực a,b,c thỏa mãn $a+b+c\geq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$.Cmr:
$\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}\geq \frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}$
Cho các số thực a,b,c thỏa mãn $a+b+c\geq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$.Cmr:
$\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}\geq \frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}$
Cho các số thực a,b,c thỏa mãn $a+b+c\geq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$.Cmr:
$\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}\geq \frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}$
Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta được $$\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}=\frac{b^2}{ab}+\frac{c^2}{bc}+\frac{a^2}{ca}\geq \frac{(a+b+c)^2}{ab+bc+ca}$$ Mặt khác, theo giả thiết ta suy ra $$abc(a+b+c)\geq ab+bc+ca$$ Từ đó ta suy ra $$\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}\geq \frac{(a+b+c)^2}{abc(a+b+c)}=\frac{a+b+c}{abc}$$ Vậy bất đẳng thức được chứng minh.
Cho các số thực a,b,c thỏa mãn $a+b+c\geq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$.Cmr:
$\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}\geq \frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}$
Sử dụng BDT phụ: $(\sum \frac{a}{c})^2\ge (a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\implies Q.E.D$.
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh