Đến nội dung

Hình ảnh

Cmr:$\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}\geq \frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
Lovemath111

Lovemath111

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 13 Bài viết

Cho các số thực a,b,c thỏa mãn $a+b+c\geq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$.Cmr:

$\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}\geq \frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}$



#2
davidsilva98

davidsilva98

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 216 Bài viết

Cho các số thực a,b,c thỏa mãn $a+b+c\geq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$.Cmr:

$\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}\geq \frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}$

 

Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta được $$\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}=\frac{b^2}{ab}+\frac{c^2}{bc}+\frac{a^2}{ca}\geq \frac{(a+b+c)^2}{ab+bc+ca}$$ Mặt khác, theo giả thiết ta suy ra $$abc(a+b+c)\geq ab+bc+ca$$ Từ đó ta suy ra $$\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}\geq \frac{(a+b+c)^2}{abc(a+b+c)}=\frac{a+b+c}{abc}$$ Vậy bất đẳng thức được chứng minh.



#3
tritanngo99

tritanngo99

    Đại úy

  • Điều hành viên THPT
  • 1644 Bài viết

Cho các số thực a,b,c thỏa mãn $a+b+c\geq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$.Cmr:

$\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}\geq \frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}$

Sử dụng BDT phụ: $(\sum \frac{a}{c})^2\ge (a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\implies Q.E.D$.






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh