Với a,b,c>0. Cm
M
$\sqrt{\frac{ab+bc+ca}{3}}\leq \sqrt[3]{\frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{8}}$
Với a,b,c>0. Cm
M
$\sqrt{\frac{ab+bc+ca}{3}}\leq \sqrt[3]{\frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{8}}$
chuẩn hóa bất đẳng thức ta có ab+bc+ca =3
$a+b+c\geq 3 và abc\leq 1
mà (a+b)(b+c)(c+a)=(ab+bc+ca)(a+c+b)-abc=3(a+b+c)-abc\geq 8$ => đpcm
chuẩn hóa bất đẳng thức ta có ab+bc+ca =3
$a+b+c\geq 3 và abc\leq 1
mà (a+b)(b+c)(c+a)=(ab+bc+ca)(a+c+b)-abc=3(a+b+c)-abc\geq 8$ => đpcm
còn cách khác ngoài chuẩn hóa k
còn cách khác ngoài chuẩn hóa k
BĐT trên tương đương vs:
$(\frac{ab+bc+ca}{3})^{3}\leq (\frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{8})^{2}$
Áp dụng BĐT:$(a+b)(b+c)(c+a)\geq \frac{8}{9}(a+b+c)(ab+bc+ca)$
$\Rightarrow (a+b+c)^{2}\geq 3(ab+bc+ca)$ (biến đổi 1 tí là ra cái này mà)
BĐT trên tương đương vs:
$(\frac{ab+bc+ca}{3})^{3}\leq (\frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{8})^{2}$
Áp dụng BĐT:$(a+b)(b+c)(c+a)\geq \frac{8}{9}(a+b+c)(ab+bc+ca)$
$\Rightarrow (a+b+c)^{2}\geq 3(ab+bc+ca)$ (biến đổi 1 tí là ra cái này mà)
hình như ngược dấu mà bn
hình như ngược dấu mà bn
Ngược đâu bạn:
(bđt $AM-GM$)
Success doesn't come to you. You come to it.
chuẩn cơm mẹ nấu rùi
Ngược đâu bạn:
- $(a+b)(b+c)(c+a)\geq \frac{8}{9}(a+b+c)(ab+bc+ca)\Leftrightarrow a^{2}b+ab^{2}+b^{2}c+bc^{2}+a^{2}c+ac^{2}\geq 6abc$
(bđt $AM-GM$)
- $\frac{(ab+bc+ca)^{3}}{27}= \frac{(ab+bc+ca)^{2}}{81}.3(ab+bc+ca)\leq \frac{\left [(a+b+c)(ab+bc+ca) \right ]^{2}}{81}\leq \left [\frac{\prod (a+b)}{8} \right ]^{2}$
Bài này được giới thiệu trong bài chuẩn hóa bất đẳng thức trong sách SangTaoBĐT của Phạm Kim Hùng
Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức
$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\frac{19}{20} \leq \sum \frac{1}{1+a+b^2} \leq \frac{27}{20}$Bắt đầu bởi Duc3290, 12-03-2024 bất đẳng thức, hoán vị |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\sum a^2b + abc +\frac{1}{2}abc(3-\sum ab) \leq 4$Bắt đầu bởi Duc3290, 25-02-2024 bất đẳng thức, hoán vị |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\sum \frac{a_1{}}{({a_1+{a_2+...+a_n{}{}}{}})-{a_1{}}}\geq \frac{n}{n-1}$Bắt đầu bởi Khanh12321, 14-02-2024 bất đẳng thức |
|
|||
|
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Bất đẳng thức - Cực trị →
$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+3 \ge 2(a+b+c)$Bắt đầu bởi POQ123, 26-01-2024 bất đẳng thức |
|
||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\sum \frac{1}{\sqrt{a^{5}+b^{2}+ab+6}}\leq 1$Bắt đầu bởi Hahahahahahahaha, 21-01-2024 bất đẳng thức |
|
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh