Chủ đề này có 1 trả lời

[200dong]

Giải phương trình lượng giác: 

 

$sinx + sin 2x + sin 3x = \dfrac{3.\sqrt{3}}{2}$ 

 

Mình giải như dưới, đến đoạn cuối lại bị tắc. 

 

*TH1: $sin \dfrac{x}{2} = 0 \leftrightarrow x = 2k\pi$ 

 

Thay vào pt đã cho có: $sin (2k\pi) + sin (4k\pi) + sin (6k\pi) = \dfrac{3\sqrt{3}}{2} \leftrightarrow 0 = \dfrac{3\sqrt{3}}{2}$ (vô lí) 

=> TH1 loại 

 

*TH2: $sin \dfrac{x}{2} \neq 0 \leftrightarrow x \neq 2k\pi$ 

Nhân hai vế pt đã cho với $sin \dfrac{x}{2}$ ta có: 

$sinx.sin\dfrac{x}{2}+ sin 2x.sin \dfrac{x}{2} + sin 3x. sin \dfrac{x}{2}= \dfrac{3\sqrt{3}}{2}.sin\dfrac{x}{2}$ 

 

$\leftrightarrow \dfrac{1}{2} (cos \dfrac{x}{2} - cos \dfrac{3x}{2} + cos \dfrac{3x}{2} - cos \dfrac{5x}{2} + cos \dfrac{5x}{2} - cos \dfrac{7x}{2}) = \dfrac{3\sqrt{3}}{2}.sin \dfrac{x}{2}$

 

$\leftrightarrow cos \dfrac{x}{2} - cos \dfrac{7x}{2} = 3\sqrt{3}. sin \dfrac{x}{2}$ 

 

$\leftrightarrow (cos \dfrac{x}{2} - 3\sqrt{3}.sin \dfrac{x}{2}) = cos \dfrac{7x}{2}$ ??? 

 

Các bạn giải tiếp hoặc giải bằng cách khác giúp mình! 

[L Lawliet]

Giải phương trình lượng giác: 

 

$sinx+sin2x+sin3x=\frac{3\sqrt{3}}{2}$ 

Lời giải.

$$\sin x+\sin 2x+\sin 3x=\dfrac{3\sqrt{3}}{2}$$

$$\Leftrightarrow 2\sin 2x\cos x+2\sin x\cos x=\dfrac{3\sqrt{3}}{2}$$

Mặt khác ta có:

$$\text{VT}=2\sin 2xcos x+2\sin x\cos x\leq 2\sqrt{\sin ^{2}2x+\cos ^{2}x}=2\sqrt{1-\cos ^{2}2x+\dfrac{1+\cos 2x}{2}}$$

Khảo sát hàm số trên ta được $\text{VT}<\dfrac{3\sqrt{3}}{2}=\text{VP}$ phương trình vô nghiệm.

 

Cách khác.

$$\text{VT}=\sin x+\sin 2x+\sin 3x=\sin 2x+2\sin 2x\cos x=\sin 2x+4\sin x\cos ^{2}x\leq 1+4\sin x\cos ^{2}x$$

$$1=\sin ^{2}x+\dfrac{\cos ^{2}x}{2}+\dfrac{\cos ^{2}x}{2}\geq 3\sqrt[3]{\dfrac{\sin ^{2}x\cos ^{4}x}{4}}$$

$$\Rightarrow \sin x\cos ^{2}x\leq \left | \sin x \right |\cos ^{2}x\leq \dfrac{2\sqrt{3}}{9}$$

$$\Rightarrow \text{VT}\leq 1+\dfrac{8\sqrt{3}}{9}<\dfrac{3\sqrt{3}}{2}=\text{VP}$$