Chủ đề này có 1 trả lời

[traitimcamk7a]

Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn điều kiện $x^3+y^2+z=2\sqrt{3}+1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

$P=\frac{1}{x}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^3}$

[rfiyms]

Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn điều kiện $x^3+y^2+z=2\sqrt{3}+1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

$P=\frac{1}{x}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^3}$

Ta sẽ tìm số thực dương $k$ sao cho sử dụng được giả thuyết $x^{3}+y^{2}+z=2\sqrt{3}+1$ như sau:

$$P+k\left ( x^{3}+y^{3}+z \right )\geq m$$

($m$ là giá trị nhỏ nhất cần tìm).

Theo bất đẳng thức AM-GM ta có:

$$\dfrac{1}{x}+kx^{3}=\dfrac{1}{3x}+\dfrac{1}{3x}+\dfrac{1}{3x}+kx^{3}\geq 4\sqrt[4]{\dfrac{k}{27}}$$

$$\dfrac{1}{y^{2}}+ky^{2}\geq 2\sqrt{k}$$

$$\dfrac{1}{z^{3}}+kz=\dfrac{1}{z^{3}}+\dfrac{kz}{3}+\dfrac{kz}{3}+\dfrac{kz}{3}\geq 4\sqrt[4]{\dfrac{k^{3}}{27}}$$

$$\Rightarrow P+k\left ( x^{3}+y^{3}+z \right )\geq 4\sqrt[4]{\dfrac{k}{27}}+2\sqrt{k}+4\sqrt[4]{\dfrac{k^{3}}{27}}$$

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi:

$$\left\{\begin{matrix} \dfrac{1}{3x}=kx^{3} \\ \dfrac{1}{y^{2}}=ky^{2} \\ \dfrac{1}{z^{3}}=\dfrac{kz}{3} \\ x^{3}+y^{2}+z=2\sqrt{3}+1 \end{matrix}\right.$$

$$\Leftrightarrow \left ( x;y;z;k \right )=\left ( 1;\sqrt[4]{3};\sqrt{3};\dfrac{1}{3} \right )$$

Vậy giá trị nhỏ nhất của $P$ là $\dfrac{9+4\sqrt{3}}{9}$ đạt được khi $\left ( x;y;z \right )=\left ( 1;\sqrt[4]{3};\sqrt{3} \right )$.